Правила вычисления производной функции
Вычисление производной функции
Производная функции играет важную роль в различных приложениях математики, поэтому необходимо знать – в каких случаях можно вычислить производную и как это сделать. Мы познакомились с основными элементарными и знаем, что все элементарные функции получаются из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции функций). Мы научимся вычислять производную любой элементарной функции. Для этого будет обоснована таблица производных основных элементарных функций и выведены правила вычисления производной суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций. С понятием производной мы познакомились на прошлой лекции и следовали при этом истории появления понятий дифференциала и производной. Историческое развитие не всегда является прямолинейным. Поэтому в современном изложении этого материала вначале, как правило, появляется понятие производной, а только затем понятие дифференциала. И происходит это примерно следующим образом. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует. Это можно записать в виде , имея в виду, что величина является приращением аргумента, - приращением функции. Если этот предел не существует, то мы говорим, что функция не имеет производную в этой точке. Затем вводится понятие дифференциала функции, как главной части приращения функции, если это приращение представляется в виде , где - функция, обладающая свойством . При этом также, как мы и делали, доказывается теорема о том, что функция дифференцируема тогда и только тогда, когда существует производная этой функции. При этом и для дифференциала функции справедлива формула . Заметим, что из дифференцируемости функции следует ее непрерывность. В частности, отсюда следует, что функция, имеющая производную в точке, непрерывна в этой точке.
Правила вычисления производной функции
Теорема 1. Пусть существуют производные функций и Тогда справедливы формулы: , , , . Доказательство. Так как существуют производные функций и , то и . Докажем первую из формул. Рассмотрим и после простой группировки слагаемых получим . Вторая формула доказывается совершенно аналогично. Далее рассмотрим с учетом определения производной оказывается справедливой третья формула (с учетом непрерывности этих функций). Аналогично доказывается формула № 4, после чего теорема будет доказана.
Теорема 2. Пусть существуют производные функций и . Тогда существует производная функции и справедлива формула . Доказательство. Сформулируем идею доказательства. Для функции рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента функции . С учетом существования (по условию теоремы) производных соответствующих функций при переходе к пределу в этом равенстве (все приращения в силу непрерывности одновременно стремятся к 0) мы приходим к формуле . Теорема доказана.
Следствие. (Производная обратной функции) Пусть задана монотонная функция . Тогда существует обратная ей функция , т. е. функция, обладающая свойством , , и при этом справедлива формула . Доказательство. Для сложной функции производная, с одной стороны, равна 1, а, с другой стороны, равна произведению производных , откуда .
Таблица производных основных элементарных функций
Теорема 3. Справедливы следующие формулы для производных основных элементарных функций.
Доказательство. Формула 1) очевидна, т. к. у константы приращение функции всегда равно 0. Рассмотрим теперь формулу 4) при , т. е. производную от натурального логарифма. Вычислим ее непосредственно: . Теперь заметим, что и справедлива формула . Формула 4) доказана. Рассмотрим функцию , обратную к функции . Поэтому (производные берутся по соответствующим аргументам) . Теперь заметим, что , поэтому, с учетом правила вычисления производной сложной функции, . Формула 3) доказана. Для вычисления табличной производной 2) применим так называемое правило логарифмического дифференцирования. Суть его заключается в том, что , и эта формула применяется, если производную от логарифма функции посчитать легче, чем от самой функции. В этом случае искомая производная вычисляется по формуле . Итак, для функции рассмотрим соотношение-следствие или . Продифференцировав обе части полученного соотношения, получим , откуда и, наконец, . Формула 2) доказана. Перейдем к доказательству формул второй строки таблицы. Вычислим производную функции после следующих преобразований: . Формула 5) доказана. Формулы 6), 7), 8) являются прямым следствием формулы 5): , . И, наконец, рассмотрим формулы третьей строки. Заметим, что функция является обратной к функции и поэтому . Учитывая, что в области определения арксинуса значения косинуса не могут принимать отрицательные значения, мы приходим к формуле . Далее, получим . Теперь отметим, что функция является обратной к функции и поэтому . Вспомним формулу и поэтому . Далее, получим . Теорема 7 доказана.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (441)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |