Магнитное поле тороида

Тороид – устройство, выполненное в виде провода, намотанного плотно виток к витку на каркас, имеющий форму тора (рис. 25). Окружность радиуса R, проходящая через центры витков, называется осью тороида. Пусть I – сила тока, текущего по виткам тороида. Из симметрии рассматриваемого поля следует, что линии магнитной индукции представляют собой окружности с центрами на оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рис. 25. Возьмем одну из таких окружностей радиуса r в качестве замкнутого контура и применим теорему о циркуляции . Так как в каждой точке рассматриваемой окружности величина B должна быть одинакова,

. (1.21)

Если контур проходит внутри тороида, то он охватывает ток , где N – число витков тороида. По теореме о циркуляции

,

откуда получаем

. (1.22)

Контур, проходящий вне тороида, не охватывает ток, поэтому для него . Следовательно, вне тороида магнитная индукция равна нулю.

Для тороида, радиус витка которого много меньше расстояния r от внутренних точек тороида до точки О оси (рис. 25), можно ввести понятие плотности намотки тороида n:

.

Тогда (1.22) примет вид

. (1.23)

Так как в этом случае мало отличается от единицы, то из (1.23) получается формула, совпадающая с формулой (1.20) для бесконечно длинного соленоида, т. е. величину B можно считать одинаковой во всех точках внутри тороида.

ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЗАРЯДЫ И ТОКИ

Сила Лоренца

На частицу с зарядом q, движущуюся со скоростью в магнитном поле, индукция которого равна действует сила

(2.1)

Эта сила называется силой Лоренца. Модуль силы Лоренца равен:

(2.2)

где – угол между векторами и . Направление силы Лоренца зависит от знака заряда и всегда перпендикулярно плоскости, содержащей вектора и .

Так как , работа силы Лоренца, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение, равна нулю [6]. Следовательно, кинетическая энергия и скорость частицы при ее движении в магнитном поле остаются постоянными по своей величине. Таким образом, сила Лоренца изменяет вектор скорости только по направлению, поэтому тангенциальное ускорение частицы [6]

.

Полное ускорение частицы равно нормальному ускорению , тогда по второму закону Ньютона

, (2.3)

где m – масса движущейся частицы.

На характер движения частицы значительно влияет угол между ее скоростью и магнитной индукцией.

Рассмотрим частный случай однородного магнитного поля.

1. Если заряженная частица влетает в однородное магнитное поле параллельно линиям магнитной индукции, т. е. , то . В этом случае частица не отклоняется от направления своего движения, двигаясь вдоль линий индукции магнитного поля.

2. Если заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции (поперечное магнитное поле) (рис. 26), т. е. , то из (2.2) и (2.3) следует, что

Таким образом, в однородном поперечном магнитном поле заряженная частица будет двигаться равномерно по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции (рис. 26). Радиус окружности R определяется из соотношения для центростремительного ускорения:

,

откуда следует, что

. (2.4)

3. Выясним характер движения заряженной частицы в случае, когда угол отличен от 0 и . Разложим вектор на две составляющие: – перпендикулярную и – параллельную (рис. 27). Выражения для составляющих скоростей следующие:

, .

Из (2.1) и (2.2) следует, что сила Лоренца

и лежит в плоскости, перпендикулярной к вектору магнитной индукции . Связанный с силой Лоренца вектор нормального ускорения также находится в этой плоскости.

Таким образом, движение частицы можно представить как суперпозицию двух движений: перемещение вдоль направления с постоянной скоростью и равномерное движение по окружности со скоростью в плоскости, перпендикулярной к вектору (рис. 27). Радиус окружности, по которой происходит движение, определяется выражением (2.4) с заменой на :

. (2.5)

Время T, которое частица затрачивает на один оборот, найдем, разделив длину окружности на скорость частицы :

. (2.6)

Результирующее движение происходит по винтовой траектории, ось которой совпадает с направлением (рис. 27). Шаг винтовой траектории h равен произведению на время одного оборота:

. (2.7)

Направление закручивания винтовой траектории зависит от знака заряда частицы (рис. 26 и 27).

Эффект Холла

Пусть по проводнику прямоугольного поперечного сечения (b – ширина, а – толщина образца) течет постоянный электрический ток, I – сила тока. Если образец поместить в однородное магнитное поле, перпендикулярное двум его граням (на рис. 28 это передняя и задняя грани), то между двумя другими гранями возникает разность потенциалов. Это явление было обнаружено Холлом и называется эффектом Холла. Разность потенциалов между гранями называется эдс Холла .

Эффект Холла объясняется следующим образом. В отсутствие магнитного поля в проводнике существует лишь продольное электрическое поле , обусловливающее ток. Эквипотенциальные поверхности этого поля перпендикулярны вектору . Разность потенциалов между симметрично расположенными точками на верхней и нижней гранях равна нулю.

a

Рис. 28

В случае металлической пластинки носителями тока являются электроны (рис. 28). При включении магнитного поля на каждый носитель тока действует сила Лоренца , направленная перпендикулярно вектору магнитной индукции и току, модуль которой .

В результате действия этой силы носители тока смещаются в поперечном направлении. На одной грани пластинки образуется избыток отрицательных зарядов, а на другой соответственно избыток положительных.

Таким образом, появляется дополнительное поперечное электрическое поле, напряженность которого в итоге достигает такого значения, что электрическая сила, равная , уравновешивает силу Лоренца . В результате устанавливается равновесие, при котором

. (2.8)

Отсюда

, (2.9)

где – эдс Холла.

Сила тока I связана со скоростью упорядоченного движения электронов соотношением [5]:

(2.10)

где S – площадь прямоугольного поперечного сечения образца шириной b и толщиной а; j – плотность тока; n – концентрация носителей тока.

Таким образом, из (2.9) и (2.10) получаем значение эдс Холла

. (2.11)

В заключение заметим, что эффект Холла дает достаточно простой способ экспериментального определения концентрации носителей тока, а в случае полупроводников – типа их проводимости (по знаку эдс Холла). Если же концентрация носителей заряда известна, эффект Холла может быть использован для измерения магнитной индукции (датчики Холла).