Вычисление средней из вариационного ряда способом моментов

Далее идут примеры для решения задач (если будут трудности)

Расчет следующий:

1. Расположим данные в возрастающем порядке.

Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х

2900 2900 2935 2940 2950 2960 2960 2960 2960 2970 2970

2. Определим порядковый номер.

N Me = ; N Me = = 6.5

Следовательно, медиана расположена между 6 и 7 значениями, т.к. имеем четное число значений.

Ме = = 2955 руб.

3. Если нечетное число значений (уберем одно значение).

N Me = = 6

Следовательно, Х = 2950 это медиана.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. В приведенном примере модальной ценой за $ является 2960, т.к. повторяется чаще.

На практике моду находят по сгруппированным данным. Определить величину моды в первичном ряду возможно при достаточно большом количестве наблюдений и при условии, что одно из значений повторяется значительно чаще, чем другие.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находится мода и медиана.

Используют следующие формулы:

- нижняя граница медианного интервала;

- величина интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.

Пример.

Средняя годовая стоимость	Число	Накопленные
основных фондов, млн. руб.	предприятий	частоты
3,7 - 4,6
4,6 - 5,5
5,5 - 6,4
6,4 - 7,3
7,3 - 8,2

Медиана находится в интервале 5,5 – 6,4, т.е 11 величина, тогда

Мода должна находится в интервале 5,5 – 6,4, т.к. f=6

*

(* - с равными интервалами)

- начало модального интервала;

- частота, соответствующего модального интервала;

- предмодальная частота;

- послемодальная частота.

Медиану и моду можно определить графически. Медиана определяется по кумуляте.

 

S

20

12

8

4

Ме

3,7 4,6 5,5 6,4 7,3 8,2

Высоту наибольшей ординаты делят пополам. Через эту точку проводят параллель оси абсцисс до пересечения с кумулятой. Точка пересечения является медианой.

Мода определяется по гистограмме. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. Левую вершину с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пресечения это мода.

f

6

5

4

3

2 Ме

1

3,7 4,6 5,5 6,4 7,3 8,2

При статистическом контроле качества продукции удобнее пользоваться медианой, а не средней арифметической, т. к. для ее определения не требуется определенных расчетов (ранжированный ряд). Она не чувствительна к крайним значениям.

Другие виды средних.

При расчете статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных существует только одно истинное среднее значение показателя.

Рассмотрим вариант, когда известен числитель ИСС, но не известен его знаменатель.

Валовой сбор и урожайность подсолнечника.

Область	Валовой сбор, тыс. тонн,	Урожайность, ц/га, х
Белгородская	97,0	16,1
Воронежская	204,0	01 0
Курская	0,5	4,8
Липецкая	16,0	10,9
Тамбовская	69,0	7,0

 

Средняя урожайность может быть определена следующим образом:

Общий валовой сбор, тыс. ц.

ИСС = -------------------------------------------------------

Общая посевная площадь, тыс. га

Общий валовой сбор получим суммированием. Посевную площадь определим делением валового сбора на урожайность. Расчет производится по формуле средней гармонической взвешенной:

=

Общее правило таково, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной (есть цена реализации и сумма реализации, но нет количества).

Пример. Две автомашины прошли один и тот же путь. Скорость

V = 60 км/ч, V = 80 км/ч. Найти среднюю скорость.

Общее правило: в том случае, если объемы явлений, т.е. произведения по каждому признаку равны, применяется средняя гармоническая (простая).

Пример. Одна и та же товарная масса имела на разных предприятиях разное время обращения: 20, 5, 2 дня. Определить среднее время обращения.

Т.к. время обращения это товарные массы, деленные на однодневный оборот товарные массы одинаковы.

Средняя геометрическая является еще одной формулой, по которой рассчитывается средний показатель.

Невзвешенная

Взвешенная

Наиболее широко применяется в анализе динамики, для определения среднего темпа роста.

Средняя квадратическая. В основе вычислений ряда сводных показателей лежит средняя квадратическая:

Невзвешенная

Взвешенная

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

 

Вычисление средней из вариационного ряда способом моментов.

Вычисление средней арифметической, используя ее свойства (мат. статистика), а именно 1) вычесть из всех вариантов постоянное число (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), и 2) разделить варианты на постоянное число (на величину интервала) называется способом отсчета от условного начала, или сокращенно “способом моментов”. Этот способ применяется в рядах с равными интервалами.

Вычисление средней способом моментов.

x		f (в % к итогу)	f
	-3		-6
	-2		-20
	-1		-20
Итого:

 

При вычитании из всех вариант одной какой-либо варианты эту варианту приравниваем к 0. Это условное начало ряда.

Лучше всего к 0 приравнивать варианту, расположенную в середине ряда и обладающую наибольшей частотой. Если одновременно с вычитанием все варианты поделить на величину интервала, то полученные новые варианты (х ) образуют в равноинтервальном ряду ряды натуральных чисел (1, 2, 3 и т.д.) положительные вниз и отрицательные вверх от нуля.

Среднее арифметическое из новых вариант (m ) называют моментом первого порядка

Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину момента первого порядка умножить на величину интервала, на который делили все варианты, и прибавить к полученному произведению величину варианты, которую вычитали.

Если ряд равноинтервальный способом моментов среднюю арифметическую легче вычислять.