 |
Главная |
Интегрирование простейших иррациональных функций
 2015-11-27 |
 587 |
 Обсуждений (0) |
из
5.00
|
Интегрирование элементарных дробей
| Тип инт. | Вид интеграла | Знак D | № сп. | Способ решения | пример |
| I | 
| = 
|  
| ||
| II | 
| = 
|  
| ||
| III | 
| D>0 | №1 | Найдем корни многочлена:
| 
 1=A(x-1)+B(x-5)
 A=  , B=-
|
| D>0, D<0 | №2 | Выделим полный квадрат:
| 1) 
2) 
| ||
| D=0 | Cмотри решение интеграла типа II | 
| |||
| I˅ | 
| D>0 | №1 №2 | См. III (разлагаем подынтегральную функцию на сумму элементарных дробей) -редко | 
|
| D>0, D<0 | №3 | Выделяем в числителе производную
квадратного трехчлена: (числа E, F находим подбором)
 
| 
| ||
| D=0 | Разбиваем на 2 интеграла | ||||
| ˅ | 
| Аналогичные решения | |||
| Формула приведения:
|
Интегрирование тригонометрических функций
I  (рациональная функция)
| |||
Общий случай,
например,
| Сводится к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной подстановки:  , тогда
  
| 
| |
 под знаком
интеграла содержатся только
в четных степенях
| Сводим к  или  и делаем подстановку:  или 
Используются формулы:
| 
| |
| Делаем подстановку
, тогда
  
|  - интеграл от рациональной дроби
| |
II 
| |||
| Если хотя бы одно из m или n нечетное, положительное целое | Отделяем от нечетной степени один сомножитель, подводим его производную под знак дифференциала, оставшуюся четную степень выражаем с помощью формулы:
| 
| |
| Если m и n – оба четные, неотрицательные (одно из них м.б. равным нулю) | Понижаем степени с помощью формул:
 
| 
| |
| Если сумма (m + n) – целая, четная, отрицательная | Сводим к или и делаем подстановку:
или
Используются формулы п. I.2
| 
| |
| Если один из m или n равен нулю, а второй – нечетное, отрицательное число | 1)Делаем подстановку:
,
при этом используются формулы п. I.1.
2) Либо с помощью замены сводим к интегралу от рациональной дроби.
3) Либо используются формулы приведения.
| 1)  интеграл от рациональной дроби
2)  интегралу от рациональной дроби
| |
| Если один из m или n равен нулю, а второй – четное, отрицательное число | Делаем подстановку:
или , при этом
используются формулы п. I.2.
Либо используются формулы приведения
| 
| |
III (произведение синусов и косинусов различных аргументов) dx
| |||
| Используем формулу:
| ||
| 
| ||
| 
| 
|
Интегрирование простейших иррациональных функций
| № | Вид интеграла | Способ вычисления | Пример |
интеграл от рациональной
функции
| Делаем подстановку:
 ,
где n – наименьшее кратное всех показателей k, m, …
|  (интеграл от
неправильной рациональной дроби, делим уголком)=
= 
| |
интеграл от рациональной функции,
m,k,s,r – целые числа
| Делаем замену:
 ,
где n – общий знаменатель дробей 
| 
| |
а) 
| Делаем подстановку:
 или  , тогда
 или 
В итоге перейдем к интегралу вида:
| 
| |
б) 
| Делаем подстановку:
 или  , тогда
 или 
В итоге перейдем к интегралу вида:
| 
Свели к интегралу II 4 (подстановка )
| |
в) 
| Делаем подстановку:
 или  ,
тогда
 или 
В итоге перейдем к интегралу вида:
| 
Свели к интегралу от рациональной дроби.
| |
г) общий случай
| В квадратном трехчлене выделяем полный квадрат:
 приходим к одному из трех интегралов типа 3a, 3б, 3в
|  2. 
| |
| Предварительно выделяем в числителе производную квадратного трехчлена:
 первый и второй – табличные интегралы,
| 
| |
r = 1,2
| Делаем замену:
Тогда
 
В итоге перейдем к интегралу типа 3 (a, б, в, г) или 4.
|  
| |
| Делаем замену: 
Тогда
 
|
| 2015-11-27 |
587 |
Обсуждений (0) |
из
5.00
|
Обсуждение в статье: Интегрирование простейших иррациональных функций |
|
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Популярное:
Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение...
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...
Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (587)
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы