Последовательное и параллельное соединение проводников

Электрические цепи содержат, как правило, несколько различных соединенных между собой проводников. Рассмотрим последовательное соединение проводников (рис. 3.5). Для каждого элемента цепи справедлив закон Ома. При последовательном соединении проводников сила тока в каждом из них одна и та же, а напряжение на зажимах всей схемы равно сумме напряжений на отдельных проводниках. Тогда для каждого проводника с сопротивлением падение напряжения , а падение напряжения на всей цепи . Так как , то полное сопротивление цепи при последовательном сопротивлении проводников равно сумме сопротивлений всех проводников:

.

При параллельном соединении проводников (рис. 3.6) напряжения одинаковы на всех проводниках и равны приложенному напряжению . Сила тока на входе и на выходе равна сумме сил токов, текущих через каждый из проводников, то есть

I= I_i,

где . Тогда . Отсюда

.

То есть при параллельном соединении проводников складываются величины, обратные их сопротивлениям. Сопротивление всей цепи при параллельном соединении проводников всегда меньше сопротивления каждого из них.

2.6 Последовательное и параллельное
соединение источников тока

Пусть батарею образуют n последовательно соединенных элементов. Батарея замкнута на внешнее сопротивление R (рис. 3.7). Сопротивлением соединительных проводов пренебрегаем.Запишем для всего замкнутого контура, образующего цепь, второе правило Кирхгофа. Оно имеет вид:

.

Отсюда

.

В общем случае при последовательном соединении нескольких источников с различными ЭДС сила тока определяется отношением суммы ЭДС всех источников тока к полному сопротивлению всей цепи:

,

где – внутреннее сопротивление i-го источника, R – сопротивление нагрузки.

Последовательное соединение источников эквивалентно источнику тока с большой ЭДС, однако при этом возрастает его внутреннее сопротивление. Чтобы такое соединение привело к увеличению тока в нагрузке по сравнению с током от одного источника, необходимо, чтобы . При этом .

Рассмотрим параллельное соединение в батарею n одинаковых элементов с ЭДС и внутренним сопротивлением r (рис. 3.8). Пусть батарея замкнута на внешнее сопротивление R. Сопротивлением соединительных проводов пренебрегаем. Согласно первому правилу Кирхгофа сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов во всех элементах батареи. Поэтому через каждый из элементов в отдельности протекает ток силой . Применим второе правило Кирхгофа к замкнутому участку цепи ABCDEF. Тогда получим . Отсюда . Таким образом, при параллельном соединении n одинаковых элементов в батарею ЭДС не меняется, а внутреннее сопротивление уменьшается в n раз. Легко видеть, что параллельное соединение элементов выгодно при малом внешнем сопротивлении. Действительно, если , то им можно пренебречь, и формула приближенно принимает вид , то есть сила тока возрастает в n раз по сравнению с силой тока от одного элемента.

Закон Джоуля–Ленца

Исследуя тепловое действие электрического тока, Джоуль (1818–1889) провел эксперимент, который подвел прочную основу под закон сохранения энергии. Джоуль впервые показал, что химическая энергия, которая расходуется на поддержание в проводнике тока, приблизительно равна тому количеству тепла, которое выделяется в проводнике при прохождении тока. Он установил также, что выделяющееся в проводнике тепло пропорционально квадрату силы тока. Это наблюдение согласуется как с законом Ома ( ), так и с определением разности потенциалов ( ). В случае постоянного тока за время t через проводник проходит заряд . Следовательно, электрическая энергия, превратившаяся в проводнике в тепло, равна:

Таким образом, если проводник, по которому течет ток, неподвижен, и в нем не совершается химических превращений, то при протекании тока в проводнике будет выделяться тепло, то есть будет увеличиваться его внутренняя энергия. Джоулем и независимо от него Ленцем было установлено, что в этом случае количество тепла, выделившееся за время , будет равно:

.

Для того чтобы найти количество тепла, выделяющееся за время в каком-то конкретном месте проводника, окружим интересующую нас точку цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной вектору . Согласно закону Джоуля–Ленца, за время в этом объеме выделится тепло:

,

где . Количество тепла, выделяющееся в единице объема за единицу времени, будет

.

Величину называют удельной тепловой мощностью.

Это интересно.

Тепловое действие электрического тока впервые наблюдалось в 1801 г., когда током удалось расплавить различные металлы. Первое промышленное применение этого явления относится к 1808 г., когда был предложен электрозапал для пороха. Первая угольная дуга, предназначенная для обогрева и освещения, была выставлена в Париже в 1802 г. К полюсам вольтова столба, представлявшего собой гальваническую батарею из 120 последовательно соединенных электрохимических элементов, подсоединялись электроды из древесного угля, и, когда оба угольных электрода приводились в соприкосновение, а затем разводились, возникал «сверкающий разряд исключительной яркости».

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Магнитное поле

Французский физик А.М. Ампер экспериментально установил, что если в двух параллельных проводниках ток направлен в одну сторону, то они притягиваются друг к другу (рис. 4.1а). В случае же когда направление токов противоположное, проводники отталкиваются (рис. 4.1б). Согласно теории близкодействия силовое взаимодействие на расстоянии осуществляется посредством поля. Но взаимодействие проводников с током не может быть вызвано электрическим полем, так как токи в проводниках обусловлены движением электронов, а одноименные заряды всегда отталкиваются, тогда как из опыта Ампера следовало, что, когда токи текут в одном направлении, проводники притягиваются. Какое же поле существует вокруг движущихся электрических зарядов и обусловливает взаимодействие проводников с током?

В 1820 г. датский физик Х.К. Эрстед проделал такой опыт. Он поместил проводник с током над установившейся в магнитном поле Земли магнитной стрелкой, расположив проводник вдоль оси магнитной стрелки (рис. 4.2а). При пропускании по проводнику тока магнитная стрелка отклонялась (рис. 4.2б) и располагалась перпендикулярно проводнику, причем направление ее отклонения зависело от направления тока в проводнике. Известно, что магнитная стрелка отклоняется под действием магнитного поля. Таким образом, опыт Эрстеда указал на наличие связи между электрическими и магнитными явлениями, которые ранее считались несвязанными друг с другом. Стало очевидно, что электрические токи могут производить магнитные эффекты, и, в свою очередь, магниты могут вызывать силы, действующие на токи.

Можно предположить, что вокруг проводника с током существует магнитное поле, и взаимодействие проводников – результат действия магнитного поля. Пока цепь в опыте Эрстеда не замкнута, магнитного поля нет, хотя в проводнике находятся электрические заряды. При замыкании цепи заряды приходят в упорядоченное движение. Вблизи провода обнаруживается магнитное поле. Можно предположить, что магнитное поле создается движущимся электрическим зарядом. Вокруг неподвижных зарядов магнитного поля нет.

Тогда можно поставить вопрос: как действует магнитное поле на электрические заряды? Поместим проводник в магнитное поле. При отсутствии тока проводник остается неподвижным. Однако при замыкании цепи проводник втягивается в межполюсное пространство магнита. При смене направления тока проводник движется в обратном направлении. Следовательно, магнитное поле не действует на электрические заряды, если они неподвижны. Но на движущиеся заряды магнитное поле действует. Таким образом, магнитное поле связано с движущимися электрическими зарядами и действует только на движущиеся заряды.

Опыт свидетельствует, что магнитное поле имеет направленный характер и должно характеризоваться векторной величиной. Можно было бы по аналогии с напряженностью электрического поля назвать ее напряженностью магнитного поля. Однако по историческим причинам основную силовую характеристику магнитного поля назвали магнитной индукцией.

Силовая характеристика электрического поля – напряженность – была определена как отношение силы, с которой поле действует на положительный заряд, к величине этого заряда:

.

Силовую характеристику магнитного поля можно определить, рассматривая действие магнитного поля на проводник с током. Но следует учесть, что сила, с которой магнитное поле действует на пробный ток, зависит от силы тока, его направления и от длины проводника. Кроме того, как показывает опыт, если проводник с током поворачивать в постоянном магнитном поле, то величина силы будет меняться от максимального значения, когда проводники параллельны, до нуля, когда они расположены перпендикулярно друг к другу. Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля можно взять отношение максимального значения силы, с которой магнитное поле действует на пробный ток, к силе тока I и длине проводника l. Эта величина и называется индукцией магнитного поля:

.

Магнитная индукция – величина векторная. Однако ее направление не совпадает с направлением силы, с которой магнитное поле действует на проводник с током. Вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно направлению тока и направлению силы, с которой магнитное поле действует на ток. Эту связь удобно представить в виде:

,

где – угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.

Для того чтобы направление вектора магнитной индукции было определено однозначно, используется правило левой руки. Нужно расположить прямолинейный проводник с током в магнитном поле таким образом, чтобы сила Ампера имела максимальное значение. Раскрытую ладонь левой руки следует поместить в плоскости, проходящей через проводник с током и вектор силы Ампера. Четыре пальца руки располагаются по направлению тока в проводнике, а большой палец, отогнутый в плоскости ладони, под прямым углом к остальным четырем пальцам, – по направлению силы Ампера. Тогда вектор индукции будет входить перпендикулярно в плоскость ладони (рис. 4.3).

Рис. 4.3

За единицу магнитной индукции принята индукция такого поля, в котором на проводник длиной 1 м при протекании в нем тока в 1 А действует максимальная сила в 1 Н. Такая единица называется тесла (Тл):

.

Тесла – очень крупная единица. Индукция магнитного поля Земли приблизительно равна 0.5·10^-4 Тл. Большой лабораторный электромагнит может создать поле с индукцией не более 5 Тл.

Задать вектор в каждой точке магнитного поля сложно. Однако, как и в случае электростатического поля, магнитное поле можно описать с помощью магнитных силовых линий. Вектор магнитной индукции в каждой точке поля направлен по касательной к магнитной силовой линии. Силовые линии магнитного поля непрерывны. В отличие от потенциального электростатического поля, где силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных, магнитное поле является соленоидальным, или вихревым: его силовые линии всегда замкнуты. Другими словами, магнитное поле не имеет источников – магнитных зарядов.

Картину магнитных силовых линий можно сделать «видимой». Для этого можно использовать мелкие железные опилки, которые намагничиваются в магнитном поле и устанавливаются вдоль силовых линий. Опыт показывает, что магнитные силовые линии прямого проводника с током представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводнику; центры этих окружностей находятся на оси проводника.

Если вместо опилок взять стрелочку компаса, то можно видеть, что она устанавливается по касательной к линиям поля. При изменении направления тока в проводнике направление стрелки меняется на противоположное. Это позволяет предложить простое правило для нахождения направления вектора : если смотреть вдоль проводника по направлению тока, то есть по направлению движения положительных зарядов, то вектор магнитной индукции направлен по касательной к линии индукции в направлении хода часовой стрелки (рис. 4.4).

На рис. 4.5а приведена картина силовых линий кругового тока, полученная с помощью магнитных опилок, на рис. 4.5б – картина силовых линий магнитного поля длинной катушки-соленида, на рис. 4.5в – прямого постоянного магнита.

Рис. 4.5в

Рис. 4.5а

Рис. 4.5б

Закон Био–Савара

Магнитное поле удовлетворяет принципу суперпозиции: если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником. Точно так же для однородного проводника с током наблюдаемая на опыте индукция есть векторная сумма элементарных индукций D полей, создаваемых отдельными элементами проводника с током , где – вектор, совпадающий по направлению с направлением тока в проводнике, а по модулю равный длине проводника.

На опыте невозможно осуществить отдельный участок тока, поэтому измерить можно только индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Существует закон, который позволяет определить индукцию магнитного поля, созданного отдельным элементом проводника с током. Это закон Био–Савара, согласно которому

,

(4.1)

где j – угол между направлением на точку наблюдения, определяемым радиус-вектором и направлением элемента тока , которое совпадает с направлением тока в проводнике, r – расстояние от элемента тока до точки наблюдения, причем , m₀ – магнитная постоянная (рис. 4.6). Магнитная постоянная вводится в системе единиц СИ при определении единицы измерения силы тока на основании закона взаимодействия токов. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат элемент тока и радиус-вектор . Направление вектора определяется направлением поступательного движения правого винта, если его головку поворачивать от вектора к вектору в направлении, соответствующем минимальному значению угла . Используя принцип суперпозиции, можно с помощью закона Био–Савара рассчитать значение результирующей индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током любой формы. Например, для величины индукции магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током получается выражение

,

где R – расстояние от проводника до точки, в которой рассчитывается индукция магнитного поля.

Магнитное поле движущегося заряда. Ток в проводнике представляет собой направленное движение заряженных частиц. Магнитное поле тока, согласно принципу суперпозиции, складывается из магнитных полей отдельных движущихся частиц. Магнитную индукцию поля, создаваемого движущимся зарядом q, можно определить, если воспользоваться законом Био–Савара. Силу тока можно представить как , где n – концентрация заряженных частиц, V – скорость их движения, S – площадь поперечного сечения проводника. Подставим выражение для силы тока в (4.1):

.

Произведение дает полное число носителей заряда N внутри элемента тока , тогда

.

(4.2)

Поделив полученное выражение на N, получим индукцию магнитного поля, созданного зарядом q, движущимся со скоростью V:

,

здесь r – расстояние от заряда до точки наблюдения, φ – наименьший угол между скоростью заряда и радиус-вектором, определяющим положение точки наблюдения относительно заряда, создающего поле (рис. 4.7).

 

Магнитное поле кругового проводника. Картина силовых линий кругового проводника с током представлена на рис. 4.4. Рассчитаем магнитную индукцию в центре кругового тока. Пусть ток идет по проводу в виде окружности радиуса R по часовой стрелке. Векторы от всех элементов тока будут направлены перпендикулярно плоскости чертежа за чертеж (рис. 4.8). Поэтому, чтобы найти значение индукции магнитного поля , созданного круговым витком с током, можно алгебраически сложить модули всех векторов , обусловленных отдельными элементами тока. Для каждого элемента тока угол , поэтому

.

Теорема о циркуляции

Существует еще одно общее соотношение, которое связывает магнитную индукцию с током. Это соотношение носит название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Пусть магнитное поле создается прямым проводником с током. Рассмотрим произвольный контур Г и зададим на нем направление обхода. Пусть представляет проекцию вектора на направлении элемента (рис. 4.9). Сумма произведений для замкнутого контура Г называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру Г. Циркуляцию проще рассчитать, когда контур совпадает с одной из силовых линий магнитного поля проводника. В этом случае вектор в каждой точке параллелен , тогда

.

Из последнего соотношения видно, что циркуляция вектора магнитной индукции не зависит от радиуса контура.

В случае контура произвольной формы , но , где R – радиус окружности с центром на проводнике с током, совпадающей на малом участке с элементом контура . Так как вклад в циркуляцию от элемента окружности любого радиуса одинаков, то

и

.

Таким образом, циркуляция вектора по произвольному контуру равна произведению m₀ на силу тока I, пронизывающего контур, по которому берется циркуляция. Если контур не охватывает ток, то циркуляция вектора равна нулю.

Рис. 4.10

Магнитное поле соленоида. Соленоид представляет собой цилиндрическую катушку с плотно прилегающими витками. Опыт показывает, что внутри длинной катушки поле однородно и линии магнитной индукции идут параллельно ее оси (рис. 4.5б). Снаружи поле в случае бесконечно длинной катушки равно нулю. Найдем индукцию магнитного поля внутри соленоида. Для этого воспользуемся теоремой о циркуляции. На рис. 4.10. представлено сечение соленоида плоскостью, проходящей через его ось. Вычислим циркуляцию вектора индукции В по прямоугольному контуру abcd. Стороны bc и ad параллельны линиям индукции; стороны ab и cd перпендикулярны линиям магнитной индукции, и проекции вектора магнитной индукции на эти стороны равны нулю. Поэтому циркуляция вектора будет равна , где – длина стороны bc.

Пусть число витков соленоида на единицу его длины равно n. Тогда полный ток, который пронизывает контур, равен . Согласно теореме о циркуляции , отсюда для бесконечно длинного соленоида получим:

.

Заметим, что вблизи краев соленоида поле уже не будет однородным, и его нельзя определить по полученной формуле. Кроме того, если соленоид нельзя считать бесконечно длинным, то индукция магнитного поля вне соленоида не равна нулю.

Сила Ампера

Магнитное поле, независимо от того, создается оно проводником с током или постоянным магнитом, проявляет себя в том, что действует на проводник с током или движущиеся заряды с некоторой силой. Максимальное значение силы, действующей на элемент проводника длиной , равно . Оно достигается в том случае, когда угол a между вектором , направление которого совпадает с направлением тока, и вектором магнитной индукции равен . При других значениях этого угла сила

.

Эта сила называется силой Ампера. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если магнитные силовые линии входят в ладонь, а четыре выпрямленных пальца совпадают с направлением тока, то отогнутый большой палец указывает направление силы.

В качестве примера рассмотрим силу взаимодействия двух бесконечно длинных параллельных проводников, по которым в противоположных направлениях текут токи и (рис. 4.11). Найдем силу, с которой проводник 2 действует на элемент тока проводника 1. Индукция магнитного поля, создаваемого проводником 2 в точках, где находится проводник 1, равна

,

где d – расстояние между проводниками. Линии этого магнитного поля представляют собой концентрические окружности, перпендикулярные проводнику 1, поэтому сила Ампера

.

Если рассмотреть силу, действующую на элемент тока проводника 2, то получим такое же выражение. Используя правило левой руки, легко показать, что если токи текут в одном направлении, то проводники притягиваются, если в противоположных направлениях – отталкиваются.

Закон взаимодействия токов используется для определения единицы силы тока в системе единиц СИ. По определению единица силы тока в системе единиц СИ – ампер – это сила постоянного тока, который, проходя по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создал бы между ними силу взаимодействия, равную 2 ? 10^–7 Н на каждый метр длины. Отсюда получается значение магнитной постоянной m₀:

.

Сила Лоренца

Рис. 4.12

Так как электрический ток представляет направленное движение заряженных частиц, то, зная силу, действующую на проводник с током, можно определить силу, действующую со стороны магнитного поля на движущийся заряд. Выделим элемент проводника длиной и поперечным сечением S (рис. 4.12). При силе тока I в единицу времени через сечение проводника пройдут все заряды, которые находятся на расстоянии, равном скорости движения зарядов, от данного сечения. Следовательно, по определению силы тока , где n – концентрация частиц.

Сила, действующая на элемент тока длиной , равна . Эта сила представляет собой сумму сил, действующих на все зарядов в выделенном элементе проводника. В рассматриваемом случае все эти силы параллельны друг другу, поэтому сила, действующая на один заряд, будет равна

,

где a – угол между направлением скорости заряда и вектором магнитной индукции . Эта сила называется магнитной составляющей силы Лоренца. Если вектор перпендикулярен , то магнитная составляющая силы Лоренца равна

.

Направление силы Лоренца определяется для положительных зарядов по правилу левой руки: если магнитные силовые линии входят в ладонь, а четыре выпрямленных пальца показывают направление скорости заряженной частицы, то отогнутый большой палец показывает направление силы Лоренца, действующей на заряд.

Сила Лоренца всегда перпендикулярна к скорости, поэтому работы не совершает, а это означает, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся частицы остается неизменной.