Нижегородская (II открытая) городская математическая олимпиада школьников

Нижегородская (II открытая) городская математическая олимпиада школьников

Г. Нижний Новгород, 19 декабря 2004 года

Класс.

Докажите, что куб натурального числа не может оканчиваться на 2004.

Решение: Если натуральное число оканчивается на 2004, то оно делится на 4 и не делится на 8. А в разложении на простые множители куба числа присутствуют только множители с показателями степене й, делящихся на 3.

2. Пару доминошек 1´2 назовём гармоничной, если они образуют квадрат 2´2. Существует ли разбиение доски 8´8 на доминошки, в котором ровно одна гармоничная пара?

Ответ: да, существует (пример см. на рис.).

В стране 96 городов, из которых 24 – «областные», некоторые пары городов соединены между собой дорогами (но не более чем одной), причём любой путь по дорогам между двумя обычными городами, если он есть, проходит хотя бы через один «областной» город. Какое наибольшее количество дорог могло быть в этой стране?

Ответ: 2004 дороги. Решение: Из условия следует, что нет дорог между парами обычных городов, т.е. все дороги идут из «областных» городов (их 24, из каждого выходит не более 95 дорог). Тогда дорог не более 24∙95–24∙23/2=2004 (т.к. каждая дорога между областными городами посчитана дважды). Пример на 2004 дороги очевидным образом следует из доказательства оценки – каждый областной город соединён дорогой с каждым из остальных.

4. Внутри квадрата ABCD построен равносторонний треугольник ВСК. Прямые ВК и СD пересекаются в точке Р. Докажите, что отрезок, соединяющий середины отрезков KD и АР, равен половине стороны квадрата.

5. В ряд выписаны n попарно различных натуральных чисел так, что произведение любых двух соседних чисел является полным квадратом. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?

Класс.

Докажите, что если в параллелограмме сумма квадратов двух смежных сторон равна произведению диагоналей, то это прямоугольник.

2. Пару доминошек 1´2 назовём гармоничной, если они образуют квадрат 2´2. Какое наибольшее количество гармоничных пар может образоваться при разбиении доски 8´8 на доминошки?

Ответ: 28. Решение: Назовём блоком прямоугольник 2´N (N – натуральное число, которое может равняться и 1), в котором доминошки стоят в ряд, касаясь друг друга длинной стороной, причём удлинить этот прямоугольник уже нельзя. Тогда в каждом блоке гармоничных пар на 1 меньше, чем количество доминошек. Так как в блоке не более 8 доминошек, а всего доминошек 32, то блоков не менее 32/8=4 и тогда гармоничных пар не более 32–4=28. Пример на 28 пар – разбить доску на вертикальные (или горизонтальные) доминошки.

3. Точка М – середина стороны ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС). Прямая, проходящая через М параллельно АС, пересекает в точке К не содержащую точки А дугу ВС описанной около треугольника АВС окружности. Доказать, что если АМ=АС, то МК=АС/2.

В Цветочном городе в министерстве реформ 1000000 отделов. В каждом отделе работает хотя бы один сотрудник и каждый малыш работает ровно в одном отделе. Каждый день министр Незнайка выбирает два самых маленьких по численности отдела и объединяет их в один отдел. Малыш Винтик участвовал ровно в 10 объединениях. Какое наименьшее число коллег может оказаться у Винтика после этих реформ?

Ответ: 143. Решение: Пусть N_k – количество сотрудников отдела, в котором работает Винтик после k-ого объединения. Тогда N₀³1, N₁³2, N₂³N₁+N₀, N₃³N₂+N₁, …, N₁₀³N₉+N₈, потому что отдел Винтика содержит после k-ого объединения N_k малышей и мог быть объединён в следующий (k+1)-й раз только с отделом, содержащим не менее N_k–1 малышей, в силу того, что отделы, содержащие меньше сотрудников, уже перестали существовать, т.к. в процессе начали участвовать отделы (в частности, отдел самого Винтика при k-ом объединении) с большим количеством сотрудников. Таким образом, из неравенств видно, что возникают числа Фибоначчи и N₂³3, N₃³5, N₄³8, N₅³13, N₆³21, N₇³34, N₈³55, N₉³89, N₁₀³144. Тогда количество коллег самого Винтика после десятого слияния не меньше 143. Приведём пример, когда в процессе реформ у Винтика окажется ровно 143 коллеги. Пусть было 3 отдела по 1 малышу, один из которых сам Винтик, а также по одному отделу с 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 сотрудниками, а в каждом из остальных же отделов пусть было больше 55 сотрудников. Тогда в первых 10 объединениях как раз и будет участвовать сам Винтик, а его отдел разрастётся до 1+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=144 сотрудников, и соответственно, 143 коллег.

Существуют ли два последовательных натуральных числа, каждое из которых представимо в виде суммы квадратов двух простых (не обязательно различных) чисел?

Класс.

1. Четырёхзначное число делится на 99. Известно, что a²+c²=b²+d². Докажите, что ac=bd.

Решение: По признаку делимости на 9 (d+c+b+a) делится на 9, а по признаку делимости на 11 (d–c+b–a) делится на 11. Тогда ((b+d)+(c+a))((b+d)–(c+a)) делится на 9×11=99, т.е. ((b+d)²–(c+a)²)=((b²+d²–c²–a²)+2(bd-ac))=2(bd-ac) делится на 99. Тогда в силу взаимной простоты 2 и 99 получаем, что (bd-ac) делится на 99. Но ׀ bd-ac׀ ≤ 9∙9=81<99. Значит, bd–ac=0, тогда bd=ac.

2. Верно ли, что существует бесконечно много троек положительных чисел a, b, c таких, что треугольник с такими сторонами подобен треугольнику со сторонами a+1, b+2, c+3?

Ответ: да, верно, например, если a=(2b+3)b/(2b+2) и c=(2b+1)b/(2b+2), а b – любое положительное число. Комментарий: выйти на подобное множество троек можно, рассмотрев случай, когда c<b<a и a+1<b+2<c+3. Тогда необходимо решить уравнение (1): . Введём b в качестве параметра и две новых переменных 0<x<1 и 1<y таких, что c=xb, а a=yb. Тогда уравнение (1) превратится в уравнение (2): , откуда (3): yb+1=xb+2x и (4): yb+2y=xb+3. Вычтем из уравнения (3) уравнение (4), тогда 1–2y=2x–3, т.е. x+y=2. Сделав замену y=2–x, из (3) найдём, что x=(2b+1)/(2b+2), тогда y=(2b+3)/(2b+2). Кроме того, непосредственной проверкой убеждаемся, что полученная нами тройка положительных чисел действительно даёт треугольник, т.к. выполняется неравенство треугольника для наибольшей стороны a<b+c.

В некотором государстве 99 городов, некоторые пары городов соединены дорогами длиной в 1, 3 или 5 вёрст, причём от каждого города до каждого по этим дорогам можно добраться ровно одним способом. Из каждого города в каждый другой отправились гонцы с важным донесением. Докажите, что суммарное расстояние, пройденное гонцами, делится на 4.

Решение: Заметим, что каждая дорога делит все города на две части из N и (99–N) городов так, что путь из любого города первой части в любой город второй части проходит по ней. Но тогда эта дорога была учтена в нужной сумме 2N(99–N) раз, так как для каждой пары городов по ней прошли два гонца (туда и обратно). Но N и (99–N) – числа разной чётности, значит, 2N(99–N) делится на 4 и каждая дорога была учтена кратное 4 количество раз. Следовательно, и вся сумма делится на 4.

Комментарий: Как видим, в условии задачи нечётность длин дорог (1, 3 и 5) никакой роли не играет. Это просто избыточное условие, а факт верен при любых целочисленных длинах дорог.

4. В прямоугольнике ABCD на стороне BC нашлась точка E (отличная от середины стороны BC) такая, что ÐMDE=ÐKAE (K лежит между B и E, M лежит между C и E) и LE^CB (где L - точка пересечения прямых DM и AK). Докажите, что ÐEDA=ÐBAK.

Верно ли, что из любых 25 целочисленных точек общего положения в пространстве (т.е. никакие три не лежат на одной прямой) можно выбрать три, образующие треугольник, точка пересечения медиан которого тоже имеет целочисленные координаты?

Нижегородская (II открытая) городская математическая олимпиада школьников