Нижегородская (III открытая) городская математическая олимпиада школьников

г. Нижний Новгород, НФ ГУ ВШЭ, 18 декабря 2005 года

Класс

1. Решите уравнение sin x + cos x = tg x + ctg x. (К.Голубев, 11 кл., лицей №165, г.Н.Новгород) Ответ: данное уравнение корней не имеет. Решение: Заметим, что из свойств тангенса и неравенства Коши следует, что . В то же время . Получаем, что множество значений функции sin(x)+cos(x) по модулю не превосходит , в то время, как множество значений tg(x)+ctg(x) по модулю не менее 2, значит, уравнение не имеет решений.

2. Новая шахматная фигура «лягушка» поочерёдно делает ходы на 1, 2, 3, 1, 2, 3, … клетки (по горизонтали или вертикали). Какое наибольшее количество клеток лягушка может посетить на доске 8´8 (без учёта исходной клетки), если ей нельзя вставать на клетки, на которых она уже была? (А.Смирнов, 1 курс, НФ ГУ ВШЭ &K)

Ответ: 15120 решений. Решение: Если ни одна из букв не равна 0, то ,т.е. уравнение не имеет решений. Значит, уравнение имеет решение только тогда, когда обе части равны нулю, а это возможно только при Л=0, следовательно, остальные пять букв могут быть выбраны из 9 ненулевых цифр способами.

4. AA₁, BB₁ и СC₁ – высоты остроугольного треугольника ABС. Точка D – проекция точки C₁ на высоту BB₁. Оказалось, что точки A₁, B₁, C₁, D лежат на одной окружности. Какие значения может принимать величина угла ВАС? (А.Куликов, 3 курс, НФ ГУ ВШЭ)

Нижегородская (III открытая) городская математическая олимпиада школьников

г. Нижний Новгород, НФ ГУ ВШЭ, 18 декабря 2005 года

Класс

1. За круглым столом сидят n³3 математиков (некоторые из которых смотрят внутрь, а некоторые – наружу), среди которых нет родившихся в один день. Каждый из них назвал 2 числа, равных 12d+31m, где d и m – соответственно день и месяц рождения каждого из его соседей. Можно ли по их ответам гарантированно определить день рождения каждого сидящего? (А.Маслов, 10 кл., шк. 85, г.Н.Новгород, Д.Мосунова, 8 кл., лицей №15, г.Саров)