Нижегородская (III открытая) городская математическая олимпиада школьников

2. Новая шахматная фигура «лягушка» поочерёдно делает ходы на 1, 2, 1, 2, … клетки (по горизонтали или вертикали). Может ли лягушка обойти всю доску 8´8, побывав на каждой клетке ровно 1 раз? (А.Смирнов, 1 курс, НФ ГУ ВШЭ)

3. К – середина медианы ВМ треугольника АВС. Прямая СК пересекает сторону АВ в точке Р. Докажите, что если АК=МС, то DВРК – равнобедренный. (В.Шмаров, 10 кл., лицей №15, г.Саров)

Ответ: 0. Решение: Если ни одна из букв не равна 0, то ,т.е. уравнение не имеет решений. Значит, уравнение имеет решение только тогда, когда обе части равны нулю, а это возможно только при Л=0, следовательно, Ч´Е´Л´О´В´Е´К=0.

5. Даны 2005 отрезков длиной 1, 2, 3, …, 2005. Два игрока по очереди берут себе по одному отрезку, пока не останется ровно 3 отрезка. Если из этих трёх оставшихся отрезков можно сложить треугольник, то выигрывает первый игрок, если нельзя – то второй. Кто выигрывает при правильной игре, первый или второй игрок? (В.А.Рузанов, лицей №40, г.Н.Новгород)

2. Новая шахматная фигура «лягушка» поочерёдно делает ходы на 1, 2, 3, 1, 2, 3,… клетки (по горизонтали или вертикали). Может ли лягушка обойти всю доску 8´8, побывав на каждой клетке ровно 1 раз? (А.Смирнов, 1 курс, НФ ГУ ВШЭ &K)