Формулы аналитической геометрии в пространстве

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

НАПРАВЛЯЮЩИЙ КОСИНУС ЛИНИИ, СОЕДИНЯЮЩЕЯ ТОЧКИ P₁(x₁,y₁,z₁) И P₂(x₂,y₂,z₂)
l = cosα = (x₂ - x₁)/d, m = cosβ = (y₂ - y₁)/d, n = cosγ = (z₂ - z₁)/d

где α,β,γ углы, которые линия P₁P₂ образовывает с положительными осями x, y, z соответственно, а d определено на рисунке вверху.

ОТНОШЕНИЕ МЕЖДУ НАПРЯВЛЯЮЩИМИ КОСИНУСАМИ
cos²α + cos²β + cos²γ = 1 или l² + m² + n² = 1

НАПРАВЛЯЮЩИЕ ЧИСЛА
Числа L, M, N, которые есть пропорциональны к направляющим косинусам l, m, n называются направляющими числами. Отношение между ними

l = L/(√L² + M² + N ², m = M/(√L² + M² + N ², n = N/(√L² + M² + N ²

УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ, СОЕДИНЯЮЩЕЙ P₁(x₁,y₁,z₁) И P₂(x₂,y₂,z₂) В СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ
(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (z - z₁)/(z₂ - z₁) или (x - x₁)/l = (y - y₁)/m = (z - z₁)/n

. Это также действительно, если l, m, n заменяются на L, M, N соответственно.

УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ, СОЕДИНЯЮЩЕЙ P₁(x₁,y₁,z₁) И P₂(x₂,y₂,z₂) В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
x = x₁ + lt, y = y₁ + mt, z = z₁ + nt

Это также действительно если l, m, n заменяются на L, M, N соответственно.

УГОЛ φ МЕЖДУ ДВУМЯ ЛИНЯМИ С НАПРАВЛЯЮЩИМИ КОСИНУСАМИ l₁, m₁, n₁ И l₂, m₂, n₂
cosφ = l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Ax + By + Cz + D = 0 [A, B, C, D - постоянные]

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ (x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂), (x₃,y₃,z₃)

or

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ФОРМЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
x/a + y/b + z/c = 1

где a, b, c есть пересечения на осях x, y, z соответственно.

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ЧЕРЕЗ (x₀,y₀,z₀) И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ Ax + By + Cz + D = 0
(x - x₀)/A = (y - y₀)/B = (z - z₀)/C или x = x₀ + At, y = y₀ + Bt, z = z₀ + Ct

. Обратите внимание, что направляющие числа для линии, перпендикулярной к плоскости Ax + By + Cz + D = 0 есть A, B, C.

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ (x₀,y₀,z₀) К ПЛОСКОСТИ Ax + By + Cz + D = 0.
(Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/± √A² + B² + C²

где знак выбирается так, что расстояние не является отрицательным.

ОБЫЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
xcosα + ycosβ + zcosγ = p

где p = перпендикулярному расстоянию от O к плоскости в P и α, β, γ есть углами между OP и положительными осями x, y, z.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПРОСТОМ ПЕРЕМЕЩЕНИИ

где (x, y, z) - старые координаты [т.e. координаты относительно системы xyz],(x', y', z') - новые координаты [относительно системы x'y'z'] и (x₀,y₀,z₀) координаты нового центра O' относительно старой координатной системы xyz.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПРОСТОМ ВРАЩЕНИИ

где центры систем xyz и x'y'z' находятся в одной точке и l₁,m₁,n₁; l₂,m₂,n₂; l₃,m₃,n₂ направляющие косинусы осей x', y', z' относительно осей x, y, z соответственно.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ И ВРАЩЕНИИ

где O' системы x'y'z' имеет координаты (x₀,y₀,z₀) относительно системы xyz и l₁,m₁,n₁; l₂,m₂,n₂; l₃,m₃,n₂ направляющие косинусы осей x', y', z' относительно осей x, y, z соответственно.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ (r, θ, z)
Точка P может быть определена как цилиндрическими координатами (r, θ, z), так и прямоугольными координатами (x, y, z).
Преобразование между этими двумя координатами есть

СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ (r, θ, φ)
Точка P может быть определена как сферическими координатами (r, θ, φ) так и прямоугольными координатами (x, y, z).
Преобразование между этими двумя кординатами есть

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

где сфера имеет центр (x₀,y₀,z₀) и радиус R.

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
r² - 2r₀r(θ - θ₀) + r₀² + (z - z₀)² = R²

где сфера имеет центр (r₀,θ₀,z₀) в цилиндрических координатах и радиус R.

Если центр находится в начале координат, уравнение имеет вид:

r² + z² = R²

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
r² + r₀² - 2r₀rsinθsinθ₀cos(φ - φ₀) = R²

где сфера имеет центр(r₀,θ₀,φ₀) в сферических координатах и радиус R.

Если центр в начале координат, уравнение имеет вид:

r = R.

УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА С ЦЕНТРОМ (x₀,y₀,z₀) И ПОЛУОСЯМИ a, b, c
(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² + (z - z₀)²/c² = 1

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР С ОСЬЮ КАК z ОСЬ
x²/a² + y²/b² = 1

где a, b - полуоси эллиптического сечения.
Если b = a, фигура превращается в цилиндрический цилиндр с радиусом a.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ КОНУС С ОСЬЮ КАК z ОСЬ
x²/a² + y²/b² = z²/c²

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД
x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1.

ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД
x²/a² - y²/b² - z²/c² = 1.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
x²/a² + y²/b² = z/c

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
x²/a² - y²/b² = z/c

. Обратите внимание на ориентацию осей этой фигуры.