Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоском движении

Для заданного положения механизма найти скорости и ускорения точки «В», указанной на схеме. Необходимые для расчета данные приведены в таблице 2, где а>_0А и s_0A — угловые скорость и ускорение кривошипа О А при заданном положении механизма; V_A и <2_Л - скорость и ускорение точки «А». Из таблицы следует использовать только те параметры, которые указаны на схеме заданного варианта.

Таблица2

Варианты №00 – 49

№ вар	ОА	АВ	№ вар	ωОАс-1	εОАс-2	VA м/с	аA м/с2	Схема №
	0.4	0.5				-	-
			-	-
	0.5	0.4				-	-
			0.2	0.1
	0.6	0.8				0.1	0.2
			-	-
	0.8	0.6				0.2	0.1
			0.1	0.2
	0.4	0.8				-	-
			-	-

 

 

Варианты № 50 – 99

№ вар	ОА	АВ	№ вар	ωОАс-1	εОАс-2	VA м/с	аA м/с2	Схема №
	0.3	0.4				0.5	0.2
			-	-
	0.4	0.5				-	-
			0.4	0.3
	0.5	0.6				-	-
			-	-
	0.4	0.3				-	-
			-	-
	0.2	0.4				-	-
			-	-

 

 

 

 

Пример решения задачи № 1

Найти скорость и ускорение точки «В» механизма (рис. 3). Дано: ОА 0,54 м; АВ - 0,25м; ω_OA= 1с^-1; ε_OA=3c^-2..

Для определения скорости точки «В» найдем положение мгновенного центра скоростей Р, который находится на пересечении перпендикуляром к линиям действия скоростей точек А и В коромысла АВ.

Скорость точки А, кроме коромысла АВ, принадлежит также кривошипу ОА, направлена перпендикулярно О А в сторону вращения кривошипа и ее величина определяется как произведение угловой скорости ω_OA на длину кривошипа. '

V_A =ω_ОА ОА = 1 *0,54 = 0,54 м/с

Линия действия скорости точки В, принадлежащей не только коромыслу АВ, но и ползуну В, направлена вдоль движения ползуна.

На рис. 4 показано положение мгновенного центра скоростей - точка р. Мгновенный центр скоростей - это точка, скорость которой в данный момент времени (для данного положения механизма) равна нулю.

Около мгновенного центра скоростей вращается звено АВ с угловой

 

Из рис. 4 видно, что АР = ЛВ Находим угловую скорость звена АВ:

Из прямоугольного треугольника АРВ находим:

Определяем скорость точки В:

Ускорение любой точки тела при плоскопараллельном движении -определяется как векторная сумма ускорения некоторой точки, принимаемой за полюс _f и ускорение точки относительно полюса. За полюс следует принять точку, ускорение которой известно.

Определим ускорение точки А. Ускорение точки А определяется как

векторная сумма нормального ускорения и тангенциального ;

Нормальное ускорение направлено к центру вращения, к точке О и его величина

Тангенциальное ускорение направлено перпендикулярно звену ОА в сторону действия углового ускорения ε_ОА и его величина (рис. 5)

Величина ускорения точки А определится из:

I

Принимая точку А за полюс, определим ускорение точки В:

(1)

Определим величину нормального ускорения точки В относительно точки А:

Направлен вектор ускорения от точки В к точке А.

Для определения тангенциального ускорения точки В относительно

точки А выбираем систему координат X, Y, направив ось X вдоль линии движения ползуна В.

Ускорение определим из уравнения суммы проекций векторного

равенства (1) на ось Y.

Рис. 5

Линия действия ускорения точки В, т.е. вектор совпадает с направлением движения ползуна В, и его проекция на ось Y равна нулю.

или

Ускорение Д ₃ точки В определим из уравнения суммы проекций векторного равенства (1) на ось X.

Проверим решение графически, складывая векторы ускорений точки В по уравнению (I). Строить график нужно точно выдерживая направление ускорений и их величину в выбранном масштабе.

 

Рис.6

 

Задача № 2

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действиемпостоянных сил

Составить дифференциальные уравнения движения тела и определить величины, указанные для каждого варианта задания. При решении задачи тело принять за материальную точку.

Условия задачи даны перед каждой схемой.

Необходимые для решения данные, а также величины, подлежащие определению, приведены в таблице 3. Исходные данные выбираются в зависимости от двух последних цифр номера зачетной книжки. Например, номер заканчивается цифрами 25. По таблице 3 для цифры 20 принимаем схему № 3 и для цифры 5 данные из строки, начинающейся с цифры 5.

Схемык задаче № 2 Схема № 1

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ с. Его начальная скорость V_A. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке В тело покидает плоскость со скоростью V_B и попадает со скоростью V_c вточку С плоскости BD, наклоненной под углом β к горизонту, находясь в воздухе Т с.

Схема № 2

Лыжник находится в точке А участка трамплина АВ, наклоненного по, Углом а к горизонту и имеющего длину l, _со скоростью V_A. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от А до В движется τ с, в точке В со скоростью V_B он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью V_c в точке С горы, составляющей угол β с горизонтом.

Схема № 3

Имея в точке А скорость V_A, тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение τ с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

Со скоростью V_B тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью Vc, находясь в воздухе Т с.

Схема № 4

Камень с массой m скользит в течение τ с по участку АВ откоса, составляющего угол α с горизонтом, имеющему длину l.

Начальная скорость камня V_A, а коэффициент трения скольжения по откосу равен f. Имея в точке В скорость V_B, камень падает с откоса и через Т с ударяется в точке С о вертикальную защитную стенку, отстоящую от откоса на расстоянии d.

Схема № 5

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол ОС с горизонтом. Его начальная скорость V_A. Коэффициент трения скольжения равен f.

Через τ с тело в точке В со скоростью V_B покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью V_c; при этом оно находится в воздухе Т с.

 

Варианты №00-49

№ вар

№ схемы

№ вар

VA м/с

VB м/с

l м

h м

d м

τ c

a град

β град

f

Определить

f и Vc

0.1

d и Т

0.3

0.1

VB и VA

0.3

h и d

0.2

T и VA

0.2

VC и d

1.5

0.1

VA и h

0.8

2.5

0.2

h и T

0.1

τ и h

0.2

τ и VC

 

Варианты № 50-99

№ вар

№ схемы

№ вар

VA м/с

VB м/с

l м

h м

d м

τ c

a град

β град

f

Определить

0.2

τ и h

2.5

0.1

VB и τ

0.1

VB и T

0.2

0.1

VA и l

0.1

VB и h

4.5

0.2

VA и τ

0.3

l и τ

0.1

h и τ

1.5

0.1

VB и d

0.2

τ и h

 

Пример решения задачи № 2

Камень с массой m скользит в течение τ с по участку АВ откоса, составляющего угол α = 30° с горизонтом, имеющему длину l= 2м. Начальная скорость камня V_A = 0, коэффициент трения скольжения f =0,1. Имея в точке В скорость V_B, камень падает с откоса и через Т с ударяется в точке С о вертикальную защитную стенку, отстоящую от откоса на расстоянии d = 1,5 м. Определить высоту падения h камня и время τ его движения по участку АВ откоса

 

 

Рис.7

Выбираем начало координат в точке А, с которой начал скользить камень. Ось Х₁ направляем по откосу в сторону движения камня, ось Y₁ направляем вниз перпендикулярно оси X₁.

Наносим на схему все действующие на камень силы. Вертикально вниз на камень (твердое тело) действует сила тяжести G=mg. Определяем как проекции силы тяжести на оси координат X₁Y₁ силу нормального давления N = mgcosa, силу, движущую камень F = mgsina и силу сопротивления твердого тела - силу трения, направленную в сторону, противоположную скорости движения

Составляем дифференциальное уравнение движения тела на основе второго (основного) закона Ньютона

Вдоль оси действуют две силы F и F^;

Подставляем в это уравнение выражения для сил F и F^:

Сокращаем массу m и интегрируем это уравнение:

Интегрируем еще раз:

Определяем постоянные интегрирования С| и с₂ из граничных условий: При t = 0 , следовательно Ci = 0.

При t = 0 х_х = х_А = 0, следовательно с₂ = 0. Уравнение движение камня по откосу АВ принимает вид:

Скорость движения камня по откосу определится из:

 

При t = τ с камень проходит путь X₁ = АВ =l = 2 м.

Подставляем это значение в уравнение для Х₁:

 

Определим скорость тела в точке В при t ==τ с:

Принимаем точку В за начало координат X,Y, направляя ось X горизонтально влево, а ось Y вертикально вниз. Определим проекции скорости V_B движения тела на оси X и Y.

Траектория движения камня после точки В показана на схеме пунктиром. На тело при его свободном падении действует только сила тяжести G = mg

Составляем дифференциальные уравнения движения тела на основе
второго закона Ньютона. тпх = 0; my = mg

Интегрируем эти уравнения:

Определим постоянные интегрирования из граничных условий: При t = 0 , следовательно, с₄ = 0

При t = 0 , следовательно, с₆ = 0

Уравнения движения тела принимают вид:

За время падения t = τ с- камень пройдет до точки С вдоль оси X расстояние, равное d = 1,5 м.

x = 6,96T = d= 1,5, откуда

Вдоль оси Y камень пройдет расстояние, равное п. Подставляя в

выражение для Y значение t = Т = 0,215 с, получим: