ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧАСТНОГО ДВУХ ФУНКЦИЙ
Для нахождения производных суммы, произведения и частного двух функций используются правила дифференцирования. Рассмотрим и решим примеры. 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИL (производная алгебраической суммы): Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных.
2. ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ:
Если функции дифференцируемы в точке х0, то их произведение дифференцируемо в этой точке.
3. ПРОИЗВОДНАЯ ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ:
Если функции дифференцируемы в точке х0,то частное также дифференцируемо в этой точке, если v¹0
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ (примеры с решениями):
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ:
Исследовать функцию с помощью первой производной Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание. Решение: 1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках . 2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю: Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: Таким образом, получаем три критические точки: 3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ: Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из 6-ти интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу. Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения . В точке функция достигает максимума: Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение. При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей. ! Повторим важный момент: точки не считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак). Ответ: функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: . Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. У графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Найти экстремумы функции: Решение: 1. Находим производную функции 2. Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение критические точки функции х=1 и х=3. 3. Критические точки функции разбивают область определения на три интервала: + - + 1 3 х определим знаки производной функции в каждом из полученных интервалов: т.е. точка х=1 – точка максимума; х=3 – точка минимума. 4. Вычислим значения функции в критических точках: 5. Составим таблицу:
ИНТЕГРАЛ Пример 1. Вычислите определенный интеграл . Решение. Пример 2. Вычислите определенный интеграл . Решение. . Пример 3. Вычислите определенный интеграл . Решение. . Пример 4. Вычислите определенный интеграл . Решение. . Пример 5. Вычислите определенный интеграл . Решение. .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (938)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |