Метод замены переменной

 

Пример 6.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

 

Примеры вычисления интегралов

Вычисление площадей плоских фигур.

 

Для вычисления площадей плоских фигур применяется определенный интеграл.

Чтобы вычислить площадь плоской фигуры надо:

1) выполнить рисунок;

2) определить границы фигуры, площадь которой надо найти;

3) вычислить площадь фигуры.

Рассмотрим всевозможные случаи.

Пример 1.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

, (ось х).

Решение.

Выполним построение фигуры, ограниченной параболой и осью Ох. Построим параболу , ветви которой направлены вниз (коэффициент перед равен (-1) ). Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Для этого решим уравнение ,

получим .

 

 

(кв.ед.)

Границы интегрирования были уменьшены на основании свойства определенного интеграла.

Пример 2.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

, , , .

Решение.

Искомая площадь ограничена полуволной синусоидой и осью Ох.

 

(кв.ед.)

 

 

Пример 3.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

, , .

Решение.

Построим прямые и х=4. Фигура, ограниченная указанными линиями, располагается ниже оси Ох.

 

(кв.ед.)

Пример 4.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

, и .

Решение.

Выполним построение фигуры. Запишем функции в привычном виде

и . Для них составим таблицы :

для первой

х	-4
у

для второй

х
у

 

 

 

Найдем точку пересечения прямых, для этого составим и решим систему уравнений

Получим х=2, у=3. На рисунке это точка М(2;3).

Искомая площадь фигуры состоит из суммы площадей двух треугольников АМN и СМN.

Вычислим площадь каждого из них и сложим полученные результаты.

.

Площадь всей фигуры будет:

(кв.ед.)

Пример 5.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

, .

Решение.

Данная фигура ограничена параболой и прямой .

 

 

Найдем точки пересечения прямых, для этого составим и решим систему уравнений

Получим х=0, х=2.

(кв.ед)

Рассмотрим еще несколько примеров решения задач:

Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: , x=-1, x=2 и осью OX.

Решение: данная фигура представляет собой криволинейную трапецию, поэтому её площадь вычисляется по формуле (1).

 

-1 X	Ответ: 6 кв.ед.

 

Пусть y=f(x) – непрерывная функция при x [a, b], график которой расположен ниже оси OX (рис. 3). Значение определённого интеграла будет отрицательным, поэтому для расчёта площади берём значение интеграла по модулю.

Рис. 3

(2)

Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX.

 

Решение: данная фигура расположена ниже оси OX, поэтому применим формулу.

Ответ: 1/6 кв.ед.

 

Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и .

Y	Решение: данная фигура представляет собой разность криволинейных трапеций Абсциссы точек пересечения находим по чертежу: x1=-2 и x2=1. . Можно записать под один интеграл: Ответ: 4,5 кв.ед.

 

Пример 5. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и , и координатными осями.

 

Решение: данная фигура представляет собой сумму криволинейных трапеций S=S₁+S₂, где и . Получим формулу:

Ответ: кв.ед.