Глава 4 Свободные электрические колебания

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, его решением является функция

где - циклическая частота, константы интегрирования и находятся из начальных условий.

Заряд на конденсаторе меняется по закону

Сразу после замыкания ключа заряд на конденсаторе равен нулю и ток в контуре отсутствует . С учетом начальных условий получаем систему уравнений:

Решая систему, получаем и . После замыкания ключа заряд на конденсаторе изменяется по закону .

Нетрудно видеть, что в контуре происходят гармонические колебания. Наличие в контуре источника постоянного тока не повлияло на частоту колебаний, она осталась равной . Изменилось «положение равновесия» - в тот момент, когда ток в цепи максимален, конденсатор заряжен. Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе равна Cε.

Этот же результат можно получить проще, используя аналогию между колебаниями в контуре и колебаниями пружинного маятника. Источник постоянного тока эквивалентен постоянному силовому полю, в которое помещен пружинный маятник, например, полю тяготения. Отсутствие заряда на конденсаторе в момент замыкания цепи тождественно отсутствию деформации пружины в момент приведения маятника в колебательное движение.

В постоянном силовом поле период колебаний пружинного маятника не изменяется. Период колебаний в контуре ведет себя так же – он остается неизменным при введении в контур источника постоянного тока .

В положении равновесия, когда скорость груза максимальна, пружина деформирована:

Когда ток в колебательном контуре максимален . Второй закон Кирхгофа запишется следующим образом

В этот момент заряд на конденсаторе равен Этот же результат можно было получить на основании выражения (*), выполнив замену

§5 Примеры решения задач

Задача 1Закон сохранения энергии

В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L = 0,5 мкГн и конденсатора емкостью С = 20 пФ происходят электрические колебания. Чему равно максимальное напряжение на конденсаторе, если амплитуда тока в контуре 1 мА? Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.

Решение:

1 Поскольку активным сопротивлением катушки можно пренебречь, полная энергия системы, состоящая из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки, остается неизменной с течением времени:

(1)

2 В тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально (максимален заряд на конденсаторе), ток в цепи отсутствует. Полная энергия системы состоит только из энергии электрического поля конденсатора

(2)

3 В момент, когда ток в цепи максимален, конденсатор полностью разряжен. Полная энергия системы состоит только из энергии магнитного поля катушки

(3)

4 На основании выражений (1), (2), (3) получаем равенство . Максимальное напряжение на конденсаторе равно

Задача 2Закон сохранения энергии

В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С , происходят электрические колебания с периодом Т = 1 мкс. Максимальное значение заряда . Чему равен ток в контуре в тот момент, когда заряд на конденсаторе равен ? Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.

Решение:

1 Поскольку активным сопротивлением катушки можно пренебречь, полная энергия системы, состоящая из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки, остается неизменной с течением времени:

(1)

2 В тот момент, когда заряд на конденсаторе максимален, ток в цепи отсутствует. Полная энергия системы состоит только из энергии электрического поля конденсатора

(2)

3 На основании (1) и (2) получаем равенство . Ток в контуре равен .

4 Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона . Отсюда . Тогда для тока в контуре получаем

Задача 3Колебательный контур с двумя параллельно соединенными конденсаторами

В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С, происходят электрические колебания с амплитудой заряда . В тот момент, когда заряд на конденсаторе максимален , замыкают ключ К. Каким станет период колебаний в контуре после замыкания ключа? Чему равна амплитуда тока в контуре после замыкания ключ? Омическим сопротивлением контура пренебречь.

Решение:

1 Замыкание ключа приводит к появлению в контуре еще одного конденсатора, подключенного параллельно первому. Общая емкость двух параллельно соединенных конденсаторов равна .

Период колебаний в контуре зависит только от его параметров и не зависит от того, как в системе возбудили колебания и какую энергию сооб- щили системе для этого. Согласно формуле Томсона .

2 Для нахождения амплитуды тока выясним, какие процессы происходят в контуре после замыкания ключа.

Второй конденсатор подключили в тот момент, когда заряд на первом конденсаторе был максимален, следовательно, ток в контуре отсутствовал.

Контурный конденсатор должен начать разряжаться. Ток разрядки, дойдя до узла, должен бы разделиться на две части. Однако, в ветви с катушкой, возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая нарастанию тока разрядки. По этой причине весь ток разрядки потечет в ветвь с конденсатором, омическое сопротивление которой равно нулю. Ток прекратится, как только сравняются напряжения на конденсаторах, при этом первоначальный заряд конденсатора перераспределится между двумя конденсаторами. Время перераспределения заряда между двумя конденсаторами ничтожно мало вследствие отсутствия омического сопротивления в ветвях с конденсаторами. За это время ток в ветви с катушкой возникнуть не успеет. Колебания в новой системе продолжатся уже после перераспределения заряда между конденсаторами.

Важно понять, что в процессе перераспределения заряда между двумя конденсаторами энергия системы не сохраняется! До замыкания ключа энергией обладал один конденсатор, контурный:

После перераспределения заряда энергией обладает батарея конденсаторов:

Нетрудно видеть, что энергия системы уменьшилась!

3 Новую амплитуду тока найдем, воспользовавшись законом сохранения энергии. В процессе колебаний энергия батареи конденсаторов переходит в энергию магнитного поля тока:

Обратите внимание, закон сохранения энергии начинает «работать» только после завершения перераспределения заряда между конденсаторами.

Задача 4 Колебательный контур с двумя последовательно соединенными конденсаторами

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L и двух последовательно соединенных конденсаторов С и 4С. Конденсатор емкостью С заряжен до напряжения , конденсатор емкостью 4С не заряжен. После замыкания ключа в контуре начинаются колебания. Чему равен период этих колебаний? Определите амплитуду тока, максимальное и минимальное значения напряжения на каждом конденсаторе.

Решение:

1 В момент, когда ток в цепи максимален, ЭДС самоиндукции в катушке отсутствует . Записываем для этого момента второй закон Кирхгофа

Видим, что в тот момент, когда ток в контуре максимален, конденсаторы заряжены до одинакового напряжения, но в противоположной полярности:

2 До замыкания ключа полная энергия системы состояла только из энергии электрического поля конденсатора С:

В момент, когда ток в цепи максимален, энергия системы складывается из энергии магнитного поля тока и энергии двух заряженных до одинакового напряжения конденсаторов:

Согласно закону сохранения энергии

Для нахождения напряжения на конденсаторах воспользуемся законом сохранения заряда – заряд нижней обкладки конденсатора С частично перешел на верхнюю обкладку конденсатора 4С:

Подставляем найденное значение напряжения в закон сохранения энергии и находим амплитуду тока в контуре:

3 Найдем, в каких пределах изменяется напряжение на конденсаторах в процессе колебаний.

Понятно, что в момент замыкания цепи на конденсаторе С было максимальное напряжение . Конденсатор 4С был не заряжен, следовательно, .

После замыкания ключа конденсатор С начинает разряжаться, а конденсатор емкостью 4С – заряжаться. Процесс разрядки первого и зарядки второго конденсаторов заканчивается, как только прекращается ток в цепи. Это произойдет через половину периода. Согласно законам сохранения энергии и электрического заряда:

Решая систему, находим:

.

Знак «минус» означает, что через полпериода конденсатор емкости С заряжен в полярности, обратной первоначальной.

Задача 5Колебательный контур с двумя последовательно соединенным катушками

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С и двух катушек индуктивностью L₁ и L₂ . В тот момент, когда ток в контуре принял максимальное значение , в первую катушку быстро (по сравнению с периодом колебаний) вносят железный сердечник, что приводи к увеличению ее индуктивности в μ раз. Чему равна амплитуда напряжения в процессе дальнейших колебаний в контуре?

Решение:

1 При быстром внесении сердечника в катушку должен сохраниться магнитный поток (явление электромагнитной индукции). Поэтому быстрое изменение индуктивности одной из катушек приведет к быстрому изменению тока в контуре.

2 За время внесения сердечника в катушку заряд на конденсаторе измениться не успел, он остался незаряженным (сердечник вносили в тот момент, когда ток в цепи был максимален). Через четверть периода энергия магнитного поля тока перейдет в энергию заряженного конденсатора:

Подставляем в полученное выражение значение тока I и находим амплитуду напряжения на конденсаторе:

Задача 6Колебательный контур с двумя параллельно соединенным катушками

Катушки индуктивности L₁ и L₂ подключены через ключи К1 и К2 к конденсатору емкостью С. В начальный момент оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов . Сначала замыкают ключ К1 и, когда напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают К2. Определите максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания К2. Сопротивлениями катушек пренебречь.

Решение:

1 При разомкнутом ключе К2 в контуре, состоящем из конденсатора и первой катушки, происходят колебания. К моменту замыкания К2 энергия конденсатора перешла в энергию магнитного поля тока в первой катушке :

2 После замыкания К2 в колебательном контуре оказываются две катушки, соединенные параллельно.

Ток в первой катушке не может прекратиться вследствие явления самоиндукции. В узле он делится: одна часть тока идет во вторую катушку, а другая заряжает конденсатор .

3 Напряжение на конденсаторе станет максимальным, когда прекратится ток I, заряжающий конденсатор. Очевидно, что в этот момент токи в катушках сравняются .

4 На основании закона сохранения энергии

С учетом того, что и , получаем

5 Для нахождения тока запишем для ветвей, содержащих катушки, закон Ома для неоднородного участка цепи:

Складываем уравнения с учетом того, что омическим сопротивлением катушек можно пренебречь:

Интегрируем с учетом то, что ток в первой катушке меняется от до , ток во второй катушке изменяется от нуля до :

6 Подставляя значение тока в закон сохранения энергии, находим максимальное напряжение на конденсаторе:

После подстановки значения получаем:

7 Можно было решить задачу, используя механическую аналогию. Колебательный контур состоит из двух катушек и конденсатора, следовательно, эквивалентная механическая система должна состоять из одной пружины и двух грузов.

Колебательный контур	Механическая аналогия
Катушки соединены параллельно, следовательно, на них одинаковое напряжение	На грузы действуют одинаковые по модулю силы – оба груза прикреплены к пружине
Сразу после замыкания К2 в первой катушке существовал ток	В начальный момент первый груз имел скорость
Сразу после замыкания К2 ток во второй катушке отсутствовал	В начальный момент второй груз покоился
Каково максимальное значения напряжения на конденсаторе?	Чему равна максимальная сила упругости, возникающая в пружине в процессе колебаний?

Маятник двигается поступательно со скоростью центра масс и совершает колебания относительно центра масс.

Сила упругости максимальна в момент максимальной деформации пружины. Очевидно, в этот момент относительная скорость грузов становится равной нулю, а относительно стола грузы двигаются со скоростью центра масс. Записываем закон сохранения энергии:

Решая систему, находим

Производим замену

и получаем для максимального напряжения найденное ранее значение

§6 Задания для самостоятельного решения

Упражнение1 Расчет периода и частоты собственных колебаний

1 В колебательный контур входят катушка переменной индуктивности, изменяющаяся в пределах L₁ = 0,5 мкГн до L₂ = 10 мкГн, и конденсатор, емкость которого может изменяться в пределах от С₁ = 10 пФ до

С₂ =500 пФ. Какой диапазон частот можно охватить настройкой этого контура?

2 Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в контуре, если его индуктивность увеличить в 10 раз, а емкость уменьшить в 2,5 раза?

3 Колебательный контур с конденсатором емкость 1 мкФ настроен на частоту 400 Гц. Если подключить к нему параллельно второй конденсатор, то частота колебаний в контуре становится равной 200 Гц. Определите емкость второго конденсатора.

4 Колебательный контур состоит из катушки и конденсатора. Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в контуре, если в контур последовательно включить второй конденсатор, емкость которого в 3 раза меньше емкости первого?

5 Определите период колебаний контура, в состав которого входит катушка (без сердечника) длины в = 50 см м площади поперечного сечения

S = 3 cм², имеющая N = 1000 витков, и конденсатора емкости С = 0,5 мкФ.

6 В состав колебательного контура входит катушка индуктивности L = 1,0 мкГн и воздушный конденсатор, площади пластин которого S = 100 cм². Контур настроен на частоту 30 МГц. Определи