Распределение частиц по скоростям в неравновесном газе

Рис. 1‑4

1.4.1.В неравновесном пространственно неоднородном газе максвел-ловское распределение по скоростям с очевидностью нарушается. В самом деле, это распределение изотропно. Оно утверждает, что в газе в любом направлении движется в среднем одно и то же число частиц с одними и теми же средними характеристиками. Но существование диффузионных потоков показывает, что в пространственно неоднородных состояниях в одну сторону либо движется больше частиц, чем в другую, либо они переносят с собой большую энергию, либо больший средний импульс.

Нетрудно понять, по какой причине возникают отклонения от максвелловского распределения. Рассмотрим группу частиц, движущихся с одинаковыми скоростями вблизи значения и предположим, что мы тем или иным способом сделали плотность их числа, n_i меняющейся вдоль оси х. Тогда число частиц этой группы, N_i, заключенных в элементе объема V между двумя бесконечно близкими плоскостями. 11' и 22', перпендикулярными к оси х (Рис. 1‑4), начнет меняться[3].

В самом деле, поток частиц, втекающих в объем через сечение 11', связан с плотностью их числа, в точке 1:

а вытекающих через сечение 22' — с плотностью в точке 2:

здесь A — площадь обоих сечений.

Так как , втекать в объем V и вытекать из него будет разное число частиц. И разница определит скорость возрастания числа частиц N_i в этом объеме (если то «возрастание» будет отрицательным).

Представляя в виде , где — расстояние между плоскостями, и учитывая, что V =АΔх, получим

.

Мы пишем здесь круглые значки дифференциалов, потому что N_i и n_i зависят от двух переменных, х и t, и мы дифференцируем каждый раз по одной из них.

1.4.2.Ясно, однако, что никакие изменения чисел N_i, не могут продолжаться до бесконечности. Им будут противодействовать те процессы, которые в изолированном газе обеспечивают установление максвелловского распределения. Эти процессы связаны со случайными столкновениями молекул рассматриваемой i-й группы с другими молекулами (в том числе и других сортов) находящимися в пределах объема V (между собой молекулы i-й группы не сталкиваются, ибо движутся с одной и той же скоростью v_i).

Непосредственно после столкновения молекула не покидает объема V, она остается внутри него. Но ее скорость меняется, она получает другие значения, отличные от v_i. Поэтому после столкновения молекула пополнит состав какой-то другой скоростной группы, а число молекул i-й группы уменьшится на единицу.

Число столкновений, которые молекула i-й группы испытывает в единицу времени, равно обратной величине времени ее свободного пробега, τ_i. Поэтому скорость их убывания из-за столкновений

.

Индекс i у времени τ_i показывает, что оно может зависеть от скорости частиц, v_i.

Конечно, место выбывших молекул (выбывших не из объема V, а из i-й группы) будут занимать молекулы других скоростных групп (но того же сорта), находящихся в объеме v и случайно получивших после соударения нужную скорость вблизи v_i,. Вычислить число прибывающих таким способом в i-ю группу молекул гораздо сложнее. Его грубую оценку можно получить из следующих соображений.

Ясно, что в равновесных условиях число прибывающих молекул должно в точности компенсировать убыль, определяемую формулой . Поэтому, обозначая равновесные величины верхним индексом нуль, можно записать

.

В правой части этого выражения стоят величины, относящиеся к частицам i-й группы. Но, в действительности, скорость определяется столкновениями, в которых участвуют все частицы данного сорта, находящиеся в пределах объема V: любая из них может получить в результате столкновения нужную скорость и оказаться в i-й группе. Поэтому можно ожидать, что величина не будет слишком меняться при таких отклонениях от равновесия, когда полное число частиц в объеме V остается неизменным, и они только чуть иначе распределяются по скоростям.

Значит, мы можем записать приближенно, что и в неравновесных условиях

.

Полная же скорость возрастания чисел N_i вследствие столкновений получится вычитанием из :

(если N_i > N⁰, то «возрастание» будет отрицательным).

Физический смысл этого соотношения станет яснее, если, воспользовавшись тем, что N_i⁰ — постоянная величина, переписать его в виде

Отсюда следует, что

,

т.е.

или

Рис. 1‑5

Эта зависимость показана на Рис. 1‑5 для случая, когда . Видно, что в результате столкновений начальное отклонение от равновесности, чем бы оно ни было вызвано, затухает по экспоненте за время ~ τ_i , если нет никаких причин, которые это отклонение поддерживали бы. Таким образом, время свободного пробега τ_i, играет роль микроскопического "времени памяти". В этом качестве его называют микроскопическим временем релаксации.

1.4.3.Ясно, что всякие изменения чисел N_i прекратятся, когда сумма скоростей и обратится в нуль:

Это условие и определяет значения N_i, устанавливающиеся в стационарном состоянии. Из него, учитывая, что N_i /V = n_i, для стационарной плотности числа частиц i-й группы получим

Так как второй член в правой части этого равенства при малых градиентах дает лишь небольшую поправку к максвелловской величине , можно без большой ошибки заменить в нем неизвестную величину n_i, на максвелловское значение плотности числа частиц . Тогда окончательно

Наш анализ показывает, таким образом, что в пространственно неоднородном газе, когда , распределение молекул по скоростям действительно становится анизотропным, не максвелловским, так что число частиц, движущихся со скоростями v_ix > 0, не равно числу частиц, имеющих такую же по величине, но противоположную по направлению скорость v_ix < 0. При этом полная плотность числа частиц в данной точке не меняется по сравнению с равновесной, поскольку увеличение числа первых компенсируется уменьшением числа вторых.

Отметим в заключение, что те рассуждения, которые привели нас к соотношению , довольно сильно огрубляют действительность. Поэтому в большинстве случаев уравнение , как показывает опыт, не годится для получения точных количественных результатов. Но оно всегда полезно для качественного анализа различных ситуаций.