Расплывание облака ионов вследствие диффузии через неограниченный объем газа

В данном параграфе и ряде последующих мы ограничимся рассмотрением вопросов расплывания облака ионов в пространстве вследствие диффузии их в газе при тепловых энергиях и низкой степени ионизации, когда ионы взаимодействуют только с молекулами газа, а не с другими ионами и электронами. Предположим также, что ионы не вступают в химические реакции с нейтральными частицами газа. Полученные ниже результаты окажутся полезными при анализе различных практических вопросов и некоторых типов экспериментов, обсуждаемых в наших лекциях.

Прежде всего, рассмотрим поведение некоторого числа ионов N, помещенных в начале одномерной системы координат. Представим себе, что ионы в момент времени t = 0 начинают диффундировать через свободный от внешних полей газ, однородно заполняющий все пространство и находящийся при постоянном давлении. Через интервал времени t на расстоянии х от начала координат плотность числа ионов окажется равной

,

где D — коэффициент диффузии ионов через газ[11].

Это уравнение, так же называют соотношением Эйнштейна. Для любого момента времени кривая зависимости n от расстояния х имеет вид гауссовой функции ошибок. С течением времени форма кривой становится все более плоской.

С помощью функции распределения ионов можно рассчитать среднее и среднеквадратичное смещения ионов из начала координат:

и

.

В случае трехмерного начального распределения ионов значение их плотности на расстоянии r в момент времени t будет равно

.

Среднее и среднеквадратичное смещение ионов в этом случае равны

и

.

При рассмотрении двумерной задачи имеем

.

Написанные выше соотношения могут оказаться полезными при оценке среднего времени жизни ионов т относительно столкновений со стенками сосуда, содержащего газ. Из выражений для среднего смещения ионов найдем, что

,

где d определяет соответствующий размер сосуда с газом.

Можно провести и более строгое вычисление времени t для различной геометрии сосудов[12]. Соответствующие результаты записываются следующим образом:

а) для бесконечно длинной трубки прямоугольного сечения со сторонами a и b

;

б) для бесконечно длинного цилиндра радиусом r₀

;

в) для сферы радиусом r₀

.

Для иллюстрации того, как пользоваться приведенными выше результатами решим задачу.

Задача.

Рассчитать время жизни иона, который первоначально находился на оси цилиндрической трубки радиусом 1 см, содержащей азот при давлении 1 мм рт. ст. и комнатной температуре.

Решение. Применим соотношение . Беря значение коэффициента диффузии равным 50 см²/с, найдем, что время τ составляет около 3×10^-3 с. За это время ион переместится на расстояние см, где — средняя скорость теплового движения.