Принцип суперпозиции электростатических полей. Примеры расчета вектора напряженности и потенциала для некоторых частных случаев распределения зарядов

Для расчета и поля, созданного системой зарядов или макроскопическим заряженным телом, используют принцип суперпозиции, а именно: вектор напряженности (потенциал ) электрического поля, созданного несколькими зарядами, равен векторной сумме напряженностей (алгебраической сумме потенциалов) полей, созданных каждым зарядом в отдельности ( )

(3.11)

В случае макроскопического заряженного тела для оценки и в какой- либо точке A (рис.3.3 а) разбивают тело на малые объемы, которые можно рассматривать как точечные заряды ; находят по формулам (3.9) и (3.10) вектора и потенциалы от этих зарядов в т. А и затем суммируют все и , т.е. берут интеграл по объему V тела

Рис.3.3

(3.12)

(3.13)

Принцип суперпозиции позволяет также рассчитывать потенциальную энергию взаимодействия зарядов. Так, для системы точечных зарядов ( ) можно записать

, (3.14)

где - потенциал поля, созданного всеми зарядами, кроме i – го заряда, в месте расположения i – го заряда; коэффициент (1/2) входит в формулу из-за того, что взаимодействие двух зарядов в сумме учитывается дважды.

Рассмотрим ряд конкретных примеров расчета электростатических полей по формулам (3.12) и (3.13).

1. Поле диполя. Под электрическим диполем понимают электронейтральную систему близкорасположенных двух точечных зарядов, отстоящих друг от друга на расстояние l (рис.3.3,б). Для описания электрического поля, созданного диполем, вводят понятие дипольного момента : это вектор, направленный по прямой от заряда (+q) к заряду (-q), т.е. по оси диполя, и равный по модулю произведению модуля одного из зарядов на расстояние l между ними

(3.15)

Обычно при описании поля диполя рассматривают точки, находящиеся на расстоянии r значительно превышающие расстояние l между зарядами диполя (r >> l).

Рассчитаем модуль вектора и потенциал φ в точках А, В, С, отстоящих от центра диполя (точка О) на расстоянии r; линии ОА, ОВ и ОС составляют с осью диполя углы 0, и произвольный угол (рис.3.4).

Рис.3.4

Используя принцип суперпозиции (3.9), (3.10), найдем направление и модули векторов , а также потенциалы в этих точках.

Точка А: = 0.

;

.

Точка В: =90.

, = ;

.

Для точки С, расположенной под произвольным углом , можно получить общее выражение, включающее в себя частные случаи для

точек А и В:

. (3.16)

Из формулы (3.16) следует, что модуль вектора напряженности и потенциал поля диполя на расстояниях r >> l определяются модулем его дипольного момента , причем они уменьшаются в зависимости от расстояния r быстрее, чем для поля точечного заряда (формулы (3.9),(3.10)).

2. Электрическое поле на оси равномерно заряженного кольца. Пусть равномерно заряженное по длине кольцо радиусом R несет заряд q. Найдем направление и модуль вектора , а также потенциал поля кольца в точке А, расположенной на оси кольца на расстоянии l от его центра (рис.3.5).

Рис.3.5

Для этого разбиваем кольцо на малые участки – точечные заряды dq, определяем направление векторов d от всех зарядов dq в точке А и используем для расчета формулу (3.12). Из симметрии задачи видно, что все вектора d образуют конус векторов с углом при его вершине и суммарный вектор будет направлен вдоль оси, вверх. Тогда

;

Oy: ;

.

Итак,

(3.17)

Из формулы (3.17), в частности, следует, что в центре кольца, в точке О, (l=0)

(3.18)

На расстояниях l, значительно превышающих радиус R кольца (l >>R), его можно рассматривать как материальную точку, а электрическое поле кольца как поле точечного заряда. Действительно, пренебрегая в формулах (3.17) по сравнению с , получим:

l>>R:

, .