Поток и циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Теорема Гаусса для вектора напряженности

Возьмем произвольный контур (Г) и произвольную поверхность S в неоднородном электростатическом поле (рис.3.7,а,б).

Рис.3.7

Тогда циркуляцией вектора по произвольному контуру (Г) называют интеграл вида:

(3.24)

а потоком ФЕ вектора через произвольную поверхность S следующее выражение

. (3.25)

Входящие в эти формулы вектора и определяются следующим образом. По модулю они равны элементарной длине dl контура (Г) и площади dS элементарной площадки поверхности S. Направление вектора совпадает с направлением обхода контура (Г), а вектор направлен по вектору нормали к площадке dS (рис.3.7).

В случае электростатического поля циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру (Г) равна отношению работы Акруг сил поля по перемещению точечного заряда q по этому контуру к величине заряда и в соответствии с формулой (3.20) будет равна нулю

(3.26)

Из теории известно, что, если для произвольного поля вектора циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру (Г) равна нулю, то это поле является потенциальным. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным и электрические заряды в нем обладают потенциальной энергией.

Если учесть, что густота линий определяет модуль вектора в данной точке поля, то тогда поток вектора будет численно равен количеству N линий , пронизывающих поверхность S.

На рис.3.8 приведены примеры расчета потока через различные поверхности S (рис.3.8,а,б,в поверхность S - плоская; рис.3.8,г S - замкнутая поверхность). В последнем случае поток через замкнутую поверхность равен нулю, так как количество линий , входящих ( ) и выходящих ( ) из нее, одинаково, но они берутся с противоположными знаками ( +>0, - <0).

Рис.3.8

Для вектора можно сформулировать теорему Гаусса, определяющую поток вектора через произвольную замкнутую поверхность.

Теорема Гаусса в отсутствие диэлектрика (вакуум) формулируется следующим образом: поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов , охватываемых этой поверхностью, деленное на .

(3.27)

Эта теорема является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции электростатических полей.

Покажем справедливость теоремы для случая поля точечного заряда. Пусть замкнутая поверхность представляет собой сферу радиусом R, в центре которой находится точечный положительный заряд q (рис.3.9,а).

Рис.3.9

Тогда

.

Полученный результат не изменится, если вместо сферы выбрать произвольную замкнутую поверхность (рис.3.9,б), так как поток вектора численно равен количеству линий , пронизывающих поверхность, а число таких линий в случаях а и б одинаково.

Такие же рассуждения с использованием принципа суперпозиции электростатических полей можно привести и в случае нескольких зарядов, попадающих внутрь замкнутой поверхности, что и подтверждает теорему Гаусса.

Терема Гаусса для вектора в присутствии диэлектрика. В этом случае помимо свободных зарядов необходимо учитывать и связанные заряды , появляющиеся на противоположных гранях диэлектрика при его поляризации во внешнем электрическом (подробнее см. раздел диэлектрики). Поэтому теорема Гаусса для вектора в присутствии диэлектрика запишется таким образом

(3.28)

где в правую часть формулы входит алгебраическая сумма свободных и связанных зарядов, охватываемых поверхностью S.

Из формулы (3.28) вытекает физический смысл теоремы Гаусса для вектора : источниками электростатического поля вектора являются свободные и связанные заряды.

В частном случае симметричного расположения зарядов и диэлектрика, при наличии осевой или сферической симметрии или в случае изотропного однородного диэлектрика, относительная диэлектрическая проницаемость среды остается постоянной величиной, не зависящей от рассматриваемой внутри диэлектрика точки, и поэтому можно учесть наличие диэлектрика в формуле (3.28) не только введением связанных зарядов , но и параметром , что является более удобным при практических расчетах. Так, можно записать (см. параграф 3.1.12.6, формула (3.68))

Тогда теорема Гаусса для вектора в этом случае запишется так

, (3.29)

где - относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится поверхность S.

Отметим, что формула (3.29) применяется при решении задач на этот раздел, а также для большинства встречающихся на практике случаев.