Теоремы, связанные с кривыми второго порядка

Теоре́ма Паска́ля — теорема проективной геометрии, которая гласит, что

Теорема Брианшона является классической теоремой проективной геометрии. Она сформулируется следующим образом:

Если шестиугольник описан около конического сечения, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.

В частности, в вырожденном случае:

Если стороны шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие его противоположные вершины, проходят через одну точку.

Теорема Брианшона является классической теоремой проективной геометрии. Она сформулируется следующим образом:

В частности, в вырожденном случае:

Теорема Брианшона двойственна к теореме Паскаля, а её вырожденный случай двойственен к теореме Паппа.

Другие кривые второго порядка

Ломаная линия.

Простейшей точечно-заданной линией является ломаная линия. Она состоит из отрезков, последовательно соединяющих заданные точки. Значение параметра в каждой последующей точке должно быть больше значения параметра в предыдущей точке . Радиус-вектор ломаной определяется равенством

где Параметр w будем называть местным параметром на участке кривой между точками . Первая производная ломаной линии в точках терпит разрыв по длине и по направлению. Параметр ломаной линии изменяется в одномерном пространстве. В этом пространстве для определения параметра t мы вправе использовать любую систему координат.

Рис. 2.4.1. Ломаная линия

Для параметра можно использовать систему координат, где его значение в точке ; равно номеру точки: Такая параметризация называется равномерной, а параметрическая длина ломаной в таком случае равна числу точек минус один. Ломаная линия приведена на рис. 2.4.1.

Ломаная может быть замкнутой, в этом случае первая характеристическая точка одновременно является и последней. Параметрическая длина замкнутой ломаной линии равна числу точек, на которых она задана.

Ломаная обладает рядом полезных свойств: ее точки легко вычисляются, ее легко можно редактировать (вставить новую точку, удалить или сдвинуть имеющуюся), ее легко можно разрезать на части, каждая из которых также будет являться ломаной линией.

Сплайн Эрмита.

Во многих практических задачах требуется построить плавную кривую линию, проходящую через заданные точки. Для этих целей строятся сплайны. Термин «сплайн» для кривых линий заимствован у названия чертежного инструмента — упругой гибкой линейки, которая может изгибаться так, чтобы проходить через заданные точки.

Если задана последовательность точек, через которую должна пройти кривая, и производные ее радиус-вектора в этих точках, то по этим данным можно построить сплайн, описываемый полиномом степени и носящий имя Эрмита. Мы рассмотрим частный случай сплайна Эрмита для .

Ломаную линию можно рассматривать в качестве составной кривой, построенной из отрезков прямой линии. По аналогии можно построить составную кубическую кривую, состоящую из сплайнов Эрмита третьей степени, гладко стыкующихся между собой. Построим составной сплайн Эрмита, проходящий через заданную последовательность точек и имеющий в этих точках заданные производные. Пусть радиус-векторы этих точек равны , векторы производных кривой в этих точках равны , а значение параметра в этих точках равны , где — номера точек. На участке между точками составной сплайн Эрмита является полиномом третьей степени местного параметра

(2.4.2)

Местный параметр w изменяется от 0 до 1. Векторы найдем из условий на границе участка кривой

После решения этой системы уравнений и подстановки искомых значений в (2.4.2), получим зависимость радиус-вектора для сплайна Эрмита

где . В (2.4.3) введены обозначения для функций

удовлетворяющих равенствам:

где штрих означает дифференцирование по Если точки расположены равномерно, то можно принять значения параметра в точках равные номерам точек: При неравномерном расположении точек параметрическое расстояние можно положить пропорциональным расстоянию между соответствующими точками Составной сплайн Эрмита может быть замкнутым.

Мы рассмотрели случай, когда для кривой заданы производные в точках. Если производные q неизвестны, то их можно вычислить по одной из схем. В первом случае их можно положить равными

При неравномерном расположении точек данный способ определения производных может привести к появлению нежелательных петель.

Рис. 2.4.2. Ломаная линия и составной сплайн Эрмита

Для предотвращения появления петель нужно использовать другую схему определения производных Например, их можно положить равными

где — расстояния между соседними точками. По третьей схеме меняются местами вклады расстояний между соседними точками:

На рис. 2.4.2 приведены ломаная линия и составной сплайн Эрмита, построенный данным способом — по характеристическим точкам ломаной.

При неравномерном расположении точек данный способ определения производных как и первый способ, может привести к появлению петель.

Предложенные схемы не позволяют получить производные радиус-вектора кривой на ее краях, если она не замкнута. Производные на краях можно получить исходя из целей, которые преследуются при построении кривой. Найдем производные в крайних точках составной кривой из условия, что в этих точках обращаются в нуль третьи производные радиус-вектора. Для этого вычислим по (2.4.3) производные для соответствующих участков и подставим в них соответствующие значения параметра, в результате получим

Аналогично можно найти производные в крайних точках составной кривой из других условий. Такими условиями могут служить: равенство нулю вторых производных на концах кривой; равенство производных радиус-вектора на концах заданным значениям. Составной сплайн Эрмита дает приемлемую аппроксимацию при большой плотности точек. Вторые производные в характеристических точках составном сплайне Эрмита не сохраняют непрерывность.

Кубический сплайн.

Построим на заданной совокупности характеристических точек сплайн, который бы имел непрерывными первые и вторые производные радиус-вектора. На каждом участке между соседними характеристическими точками будем описывать радиус-вектор кривой кубическим полиномом типа (2.4.2). Введем обозначения для вторых производных в характеристических точках Вторая производная радиус-вектора на участке является линейной функцией параметра

После двукратного интегрирования получим

(2.4.5)

Постоянные интегрирования определим из условий на концах участка После вычислений получим

(2.4.6)

Выражение (2.4.6) описывает кубический полином на отрезке и содержит две неизвестные величины Для их определения приравняем первую производную сплайна на правом конце отрезка первой производной сплайна на левом конце отрезка