Задачи 5 и 6 связаны с определением силы давления жидкости на плоскую и криволинейную стенки

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

А.С. Кондратьев

 

ГИДРАВЛИКА

 

 

 

 

Блок задач контрольных работ

 

Москва

2012 г.

Методические указания к решению задач

и контрольные задания

Номера контрольных задач студент выбирает по последней цифре шифра (см. Таблица 1), а числовые значения - по предпоследней цифре шрифта зачетной книжки (студенческого билета) студента (см. Таблица 2).

Выполняемые контрольные задания имеют целью научить студента применять изученные закономерности при решении практических задач курса гидравлики.

Таблица 1

 

№*
Номер контрольной работы

 

№^* -последняя цифра шифра

 

Задачи 1 и 2 связаны с основными свойствами жидкости.

Задача 1. Канистра, заполненная бензином и не содержащая воздуха, нагрелась на солнце до температуры t_к = 50⁰С. На сколько повысилось бы давление бензина внутри канистры, если бы она была абсолютно жесткой? Начальная температура бензина t_н = 20⁰С Модуль объемной упругости бензина Е_ж = 1300 МПа, коэффициент температурного расширения β _t = 8 10^-4 1/град.

Решение.

При нагревании происходит увеличение объема, занимаемого жидкостью:

 

ΔV_t = β _t V (t_к – t_н) = β _t V Δt.

 

При сжатии происходит уменьшение объема, занимаемого жидкостью:

 

ΔV_р = - β _р V (р_к – р_н) = - β _р V Δр = - V Δр / Е_ж.

 

где: β _р = 1/ Е_ж – коэффициент объемного сжатия.

 

Так как канистра абсолютно жесткая, то суммарное изменения объема равно нулю, то есть:

 

ΔV_t + ΔV_р = 0 или β _t V Δt - V Δр / Е_ж = 0

 

Откуда:

 

Δр = β _t Δt Е_ж = 1300 10⁶*8 10^-4 (50 - 20) = 31,2 МПа.

 

Задача 2.Определить объемный модуль упругости жидкости, если под действием груза А массой m = 250 кг поршень опустился на расстояние Δh = 5 мм. Начальная высота положения поршня (без груза) Н = 1,5 м, диаметр поршня d = 80мм, а резервуара D = 300 мм, высота резервуара h = 1,3 м. Весом поршня пренебречь. Резервуар считать абсолютно жестким. Рис. 1.

Решение.

Согласно определению объемного модуля сжатия жидкости:

 

Е_ж = - V Δр / ΔV_р.

 

Объем резервуара, содержащего жидкость равен:

 

V = πD²h /4 +π d² (H-h)/4 = 3,14*0,3²*1,3/4 + 3,14*0,08²*(1,5 – 1,3)/4 =

= 9,28 10^{-2 м3}.

 

Изменение объема ΔV_р:

 

ΔV_р = - π d² Δh /4 = 3,14*0,08²*0,005/4 = - 2,51 10^{-5 м3}.

 

Приращение давление под поршнем Δр, создаваемое грузом массой m, равно отношению веса груза к площади поршня:

 

Δр = mg / (π d²/4) = 250*9,81 /(3.14*0,08²*/4) = 4,88 10⁵ Па.

 

Подставляя найденные величины V, ΔV_р и Δр в формулу, определяющую величину Е_ж, получим:

 

Е_ж = - V Δр / ΔV_р = - 9,28 10^-2 *4,88 10^-2 / (- 2,51 10^-5) = 1804 МПа.

 

Задачи 3 и 4 связаны с определением гидростатического давления в жидкости.

 

Задача 3.Определить абсолютное и вакуумметрическое давление воздуха в сосуде, если показание ртутного прибора h = 368 мм, а высота воды Н = 1 м. Атмосферное давление равно h_а = 736 мм. рт. ст. Плотность ртути ρ_р = 13600 кг/м³, плотность воды ρ_в = 1000 кг/м³. Рис. 2.

Решение.

Атмосферное давление р_а в открытой трубке уравновешивается давлением, создаваемым столбом ртути высотой h, столбом воды высотой Н и абсолютным давлением воздуха в сосуде р_в:

 

р_а = ρ_рg h + ρ_вg H + р_в,

 

где р_а = ρ_рg h_а = 13600*9,81*0,736 = 0,0982 МПа.

 

р_в = р_а - ρ_рg h - ρ_вg H =

 

= 13600*9,81*0,736 – 13600*9,81*0,368 – 1000*9,81*1 = 0,039 МПа.

 

Вакуумметрическое давление воздуха в сосуде р_{в вак}:

 

р_{в вак} = р_а - р_в = 0,0982 – 0,039 = 0,059 МПа.

 

Задача 4.Определить давление Р₁ жидкости, которое нужно подвести к гидроцилиндру, чтобы преодолеть усилие, направленное вдоль штока F = 1 кН. Диаметры: цилиндра D = 50 мм, штока d = 25 мм. Давление в баке Р₀ = 50 кПа, высота Н₀ = 5 м. Силу трения не учитывать. Плотность жидкости ρ = 1000 кг/м³. Рис. 3.

Решение.

При равновесии, сила, создаваемая за счет давления Р₁ на поршень слева F_л, равная произведению давления на площадь цилиндра, уравновешивается силой F_п, равной сумме силы F и силы, создаваемой за счет давления Р₂ на поршень справа. При этом, давление Р₂ равно: Р₂ = Р₀ + ρg H₀

 

F_л = Р₁ πD² /4 = F_п = Р₂ π(D² - d²)/4 + F.

 

Отсюда:

 

Р₁ = 4 F /( πD²) + (Р₀ + ρg H₀) (D² - d²)/D² = 4*10³/(3,14*0,05²) +

 

(50*10³ + 1000*9,81*5)(0,05² – 0,025²)/ 0,05² = 0,584 МПа.

 

Задачи 5 и 6 связаны с определением силы давления жидкости на плоскую и криволинейную стенки.

Задача 5. Определить минимальную массу m груза, способного удерживать прямоугольный щит размером h = 3 м и b = 2 м в закрытом положении, при уровне воды в канале Н = 5 м. Длина рычага, на котором укреплен груз, L = 3м. Щит может поворачиваться в подшипниках вокруг оси О. Выше оси расположены неподвижные балки, концы которых заделаны в боковые стенки канала. Рис. 4.

Решение.

Сила тяжести груза минимальной массы G может быть найдена из уравнения моментов, составленного относительно оси О:

 

ΣM₀ = 0 или G L – Р L_DO = 0.

 

Откуда:

 

G = Р L_DO / L.

 

где: Р = ρg h_cS – сила давления воды на щит; S – площадь щита; h_c – расстояние центра тяжести щита от свободной поверхности жидкости; L_DO – плечо силы Р.

 

S = bh = 2*3 = 6 м²,

 

h_c = Н – h /2 = 5 – 3/2 = 3,5 м.

 

L_DO = h_d – L_KO = h_d – (H – h),

 

где: h_d – расстояние центра давления от свободной поверхности жидкости; L_KO – расстояние между осью О и уровнем жидкости в точке К.

 

Момент инерции щита относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести щита:

 

J_c = b h³ /12 = 2*3³ /12 = 4,5 м^4..

 

Тогда:

 

h_d = h_c + J_c /( h_c S) = 3,5 + 4,5 /(3,5*6) = 3,71 м.

 

Подставляя найденные значения в вышеприведенные формулы, получим:

 

L_DO = h_d – L_KO = h_d – (H – h) = 3,71 - (5 – 3) = 1,71 м.

 

Р = ρg h_c S = 1000*9,81*3,5*6 = 206 10³ Н.

 

G = Р L_DO / L = 206 10³*1,71 / 3 = 117,4 10³ Н.

 

Тогда:

 

m = G/g = 117,4 10³/9,81 = 12000 кг.

 

Задача 6.Определить силу давления нефти Р на цилиндрическую стенку резервуара и угол наклона α линии действия этой силы к горизонту, если радиус стенки R = 800 мм, ширина стенки В = 3 м, высота нефти в резервуаре Н = 2 м, плотность нефти ρ = 900 кг/м³. Рис. 5.

Решение.

Результирующая сила давления нефти Р на рассматриваемую криволинейную стенку и ее горизонтальную составляющую Р_x можно определить по формулам:

 

Р = (Р_x² + Р_z²)^1/2;

 

Р_x = ρg h_c F_z,

 

где: F_z – площадь проекции стенки на вертикальную плоскость, равная в данном случае площади прямоугольника шириной В и высотой R, то есть F_z = В R; h_c – расстояние от свободной поверхности нефти до центра тяжести поверхности F_z, то есть h_c = Н – R/2.

 

Тогда:

 

Р_x = ρg h_c F_z = ρg (Н – R/2) В R = 900*9,81*(2 – 0,8/2)*3*0,8 = 33,9 кН.

 

Сила Р_x приложена в точке D, находящейся от свободной поверхности нефти на глубине:

 

h_d = h_c + J_c /( h_c F_z),

 

где: J_c = В R ³ /12 - момент инерции поверхности F_z относительно горизонтальной оси, проходящей через её центр тяжести;

 

h_d = h_c + J_c /( h_c F_z) = Н – R/2 + (В R ³ /12) /( h_c F_z) =

 

= 2 – 0,8/2 + (3*0,8³/12)/((2 – 0,8/2)*3*0,8) = 1,63 м.

 

Вертикальная составляющая силы Р_z:

 

Р_z = ρgV,

 

где: V – объем тела давления, представляющего в данном случае разность объемов параллелепипеда V_п = НВR и четверти цилиндра V_ц = π R²В/4. Тогда:

 

Р_z = ρgV = ρg (НВR - π R²В/4) = 900*9,81(2*3*0,8 – 3,14*0,8²*3/4) =29 кН.

 

Точка приложения силы Р_z находится в центре тяжести объема тела давления – в точке N. Результирующая сила давления на криволинейную стенку Р равна:

 

Р = (Р_x² + Р_z²)^1/2 =(33,9² + 29²)^1/2 = 44,6 кН.

 

Эта сила направлена под углом к горизонту α:

 

α = arctg (Р_z / Р_x) = arctg (29/33,8) = 40⁰ 38'.