Построение моделей временных рядов в соответствии с методологией Бокса-Дженкинса. Модели ARIMA

Для временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа. До сих пор мы рассматривали модели, в которых в качестве регрессора выступала переменная «t» - время. В эконометрике достаточно широкое распространение получили и другие регрессионные модели, в которых регрессорами выступают лаговые переменные, т.е. переменные, влияние которых в эконометрической модели характеризуется некоторым запаздыванием. Еще одним отличием рассматриваемых регрессионных моделей является то, что представленные в них объясняющие переменные являются величинами случайными.

Авторегрессионная модель р-го порядка имеет вид:

, где - некоторые константы.

Она описывает изучаемый процесс в момент времени t в зависимости от его значений в предыдущие моменты t-1, t-2, …,t-p.

Если исследуемый процесс в момент t определяется его значениями только в предшествующий период t-1, то рассматривают авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель AR(1) – марковский случайный процесс):

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней (не путать с аналогичным термином при сглаживании временных рядов), в которой моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (ошибок) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней q-го порядка или модель MA(q) имеет вид:

В эконометрике используются также комбинированные модели временных рядов AR и MA – авторегрессионная модель скользящей средней порядков p и q соответственно (или ARMA(p,q)) имеет вид: .

Использование соответствующих авторегрессионных моделей для прогнозирования экономических показателей, т.е. прогноз на базе рассмотренных моделей, может оказаться весьма эффективным (как правило, в краткосрочной перспективе).

Модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего порядка ARIMA(p,q,r)

Обозначим:

(1)

(2)

(3)

Случайная последовательность называется рядом ARIMA(p,q,r), если ряд является (стационарным) рядом ARMA(p,q), т.е. ряд является стационарным (в слабом смысле) и имеет место равенство:

(4)

где независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией :

, , . (5)

Оценивание параметров для модели ARIMA(p,q,r) сводится к оценке параметров модели ARMA(p,q) для ряда ,

Прогнозирование осуществляется в два этапа.

На первом этапе находятся прогнозные значения ряда в рамках модели ARMA(p,q).

Затем находятся прогнозные значения , для рекуррентным образом (начиная с ) по следующим принципам.

Сначала находится значение по формуле:

(6)

Затем рекуррентным образом находятся значения при по формуле:

(7)

После того, как уже найдены значения , , находится значение по формуле:

(8)

Затем рекуррентным образом находятся значения при по формуле:

(9)

Порядок модели ARIMA(p,q,r) – это наименьшее значение , при котором ряд является стационарным.

Для исследования ряда на стационарность используется тест Дики-Фуллера.

42 Статическая модель межотраслевого баланса (МОБа). Экономическое содержание разделов таблицы МОБа.

Стат. межотр. модели испол-ся для разработки планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях МОБа. При построении делают предположения: 1) все продукты в отрасли однородны и рассм-ся как целое(1отрасль-1продукт); 2) в каждой отрасли 1 технология производства; 3) нормы производ-ных затрат не зависят от объёма выпуска; 4) не допускается замещение сырья другим. При этих предположениях: xij = aij*xj, где a_ij- коэфф-т прямых материальных затрат и показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли.

Они считаются в модели постоянными. Подставляем в Xi = ∑xij + Yi (из класс. МОБ – 2й квадрант) и в итоге Xi = aij*xij + Yi В матричном виде: X = AX + Y - баланс распределения продукции, где X = (X₁,.,X_n) - вектор валовых выпуков; Y = (y₁,.,y_n) - вектор конечного продукта; A- матрица коэфф-в прямых материальных затрат. Коэфф-ты прям. матер-х затрат явл-ся основн. параметрами стат. межотр. модели. Значения получают: 1) статистически (анализ отчётных балансов за прошлые годы); 2) нормативно (отрасль состоит из производств, для кот. разработаны нормативы затрат; на их основе рассчит. коэфф-ты. Баланс распределения продукции использ. для анализа и план-ния стр-ры экономики. При известных коэфф-тах прям. мат. затрат, можно опред. необход. валовые выпуски отраслей. Преобразуем: X - AX = Y; -> X (E - A) = Y; -> X = (E - A)^-1Y, где E - единичная матрица. B = (E - A)^-1 - матрица полных матер-х затрат, а b_ij – коэфф-ты полных матер-х затрат и показ-т, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли. Чтобы В существовала, необх-мо: 1. a_ij ≥ 0 (из неотрицательности x_ij и положительности X_j); 2.Сумма элем-в матрицы A по столбцу < 1. При выполнении условий А – продуктивна.

Коэфф-ты косвенных затрат порядка (r+1):

Коэфф-ты косвенных затрат порядка r являются элементами матрицы , где (r+1) - показатель степени матрицы для всех целых значений . Коэфф-ты промеж-х затрат с_ij : Если a_ij продуктивна, то бесконечный ряд сходится. В матричной записи справедливо: , где С - матрица коэфф-в промежуточных мат затрат. Вывод: Эта Модель – статическая и все зависимости отнесены к 1му моменту врем. Они разрабат-ся для отдел-х периодов, а динамика отображается рядом независимо рассчит-х моделей, что вносит опред. упрощения и сужает возможности анализа.

Информационной базой модели МОБ выступает отчетный МОБ, который отражает на уровне народного хозяйства производство и распределение валовой продукции в отраслевом разрезе. Модель МОБ – система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса в разрезе каждой отрасли между производимым количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. x_ij- поставка продукции из i -й отрасли в j-ю отрасль; z_ij - объем i-го элемента добавленной стоимости в j-й отрасли; X_i- вал. продукция i -й отрасли.

Основой баланса является совокупность всех отраслей материального производства и сферы услуг. На представленной схеме все от­расли агрегированы в три отрасли, каждая из которых в балансе фигурирует дважды: как произво­дящая и как потребляющая. Отрасли как производителю продукции соответствует определенная строка, как потребителю продукции — определенный столбец. Пусть 1я отрасль – это промышленность, 2я – прочие отрасли мат. производства, 3я – отрасли сферы услуг. Столбец (x₁₁, x₂₁, x₃₁) характеризует структуру промежуточных затрат промышленности; а элементы столбца (x₁₁ , x₂₁ ) - структуру материальных затрат промышленности. В столбцах 3го квадранта отражается структура элементов ВДС каждой отрасли. Так, элементы 1го столбца (z₁₁ z₂₁ z₃₁ z₄₁ z₅₁ ) показывают в промышленности потребление осн.капитала, зарплату, прибыль, косв.налоги, субсидии. Сумма всех элементов 1го столбца представляет ВДС промышленности. Элементы 1й строки (z₁₁ z₁₂ z₁₃ ) указ-ют потребление основного капитала в разрезе каждой отрасли, сумма всех элементов 1й строки – ПОК в целом по народному хозяйству.

В столбцах третьего квадранта МОБ отражается структура элементов валовой добавленной стоимости каждой отрасли. Элементы первого столбца (z₁₁, z₂₁, z₃₁, z₄₁, z₅₁)показывают в промышлен­ности потребление основного капитала, заработную плату, прибыль, косвенные налоги, субсидии со­ответственно (знак «-» в строке «Субсидии» исключает двойной счет при определении валовой добавленной стоимости). Сумма всех элементов первого столбца ( ) представляет валовую добавленную стоимость промышленности. Элементы первой cтроки (z₁₁, z₁₂, z₁₃) указывают потребление основного капитала в разрезе каждой отрасли, сумма всех элементов первой строки ( ) — потребление основного капитала по народному хозяйству в целом.

1й и 3й квадранты описывают стоимостную структуру валовых затрат (мат.затраты, опл.труда, ПОК, прибыль и.т.д.). В отчетном МОБ окаймляющая строка представляет валовые затраты(ВЗ). Валовой выпуск каждой отрасли должен совпадать с ВЗ. Для любой отрасли-потребителя: , = …, =…(валовые затраты отрасли-потребителя (x_j) определяются промеж. затратами ПЗ ( ) и ВДС (z_j)).