Метод Тейлора второго порядка
При из формулы (6) получаем
где Метод Рунге-Кутта. Метод Рунге-Кутта имеет тот же порядок точности, что и метод Тейлора, но исключает необходимость вычисления значений частных производных от правой части дифференциального уравнения . Основная идея метода состоит в замене функции в формуле (6) другой функцией , не требующей вычисления частных производных от и удовлетворяющей условию
где - константа, не зависящая от . Таким образом, алгоритм метода Рунге-Кутта имеет вид:
где удовлетворяет условию (9). Очевидно, метод (10) имеет ту же алгоритмическую ошибку, что и метод Тейлора. Алгоритм (10) принято называть методом Рунге-Кутта порядка . Функцию разыскивают в виде: где В формулах (11) коэффициенты и находятся из условия (9). Метод Рунге-Кутта первого порядка. При получаем из (11)
Сравнивая с , немедленно получаем из условия (9), что . Таким образом метод Рунге-Кутта первого порядка совпадает с явным методом Эйлера: Метод Рунге-Кутта второго порядка. При получаем из (11)
Разлагая во втором слагаемом в (12) по формуле Тейлора в точке получаем Подставляя (13) в (12), имеем Сравнивая и (14), получаем из условия (9) нелинейную систему уравнений для определения коэффициентов :
Отсюда следует, что для различных существует целое семейство методов Рунге-Кутта второго порядка с коэффициентами и :
Приведем примеры алгоритмов метода Рунге-Кутта второго порядка. Метод Хьюна (модифицированный метод трапеций). В этом случае , Из (15) получаем алгоритм метода Хьюна
Модифицированный метод Эйлера. В этом случае , Из (15) получаем алгоритм модифицированного метода Эйлера
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Наиболее часто в вычислительной практике используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, алгоритм которого определяется формулами где Отметим, что если правая часть дифференциального уравнения не зависит от , то формула (18) совпадает с квадратурной формулой Симпсона. (Решение задачи Коши равносильно вычислению интеграла ). Замечание.Метод (18) часто называют просто «методом Рунге-Кутта» без всяких указаний на порядок. Локальная алгоритмическая ошибка этого метода не превосходит , где - константа, не зависящая от . Однако оценить не просто. Это существенный недостаток метода Рунге-Кутта. Грубое оценочное правило выбора шага предложено Коллатцом: если для некоторой точки величина больше нескольких сотых, то шаг уменьшают.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1118)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |