Движение жидкости по трубам. Скорость

Течения.

dr

Рассмотрим цилиндрическую трубу радиуса R и выделим в ней цилиндр с меньшим радиусом r . Площадь сечения малого цилиндра будет S = pr² ; площадь боковой поверхности цилиндра будет S = 2prl . Здесь действуют две силы: сила, которая гонит жидкость по трубе, то есть сила, равная разности сил давления на жидкость справа и слева трубы F = F1 – F2 = p1pr² – p2pr² = (p1 – p2)pr² и сила жидкого трения о стенки трубы Fтр = h(dv/dr)S = h(dv/dr)2prl. Эти силы равны по модулю, но противоположно направлены. Приравняем их: F = Fтр

(p1 – p2) = -h(dv/dr)2prl

Знак минус в правой части уравнения говорит о том, что dv/dr < 0, т.е. скорость жидкости уменьшается с увеличением радиуса r, иными словами, чем ближе к стенкам трубы, тем скорость жидкости меньше. Или:

 

dv = (p1-p2) rdr

2lh

 

Мы получили дифференциальное уравнение. Решая его, получим:

 

Окончательно получим:

 

v = (p1 – p2) (R² – r²)

Lh

 

Согласно этому уравнению, при перемещении от центра трубы к периферии, скорость течения жидкости изменяется по параболическому закону:

 

 

 

Если r = 0,то есть по оси цилиндра, то v = (p1 – p2)R²/4lhимеет наибольшее значение, т.е. v = vmaxЕсли же r = R,то v = 0

Следовательно, наибольшая скорость течения жидкости – по оси трубы, а у стенки – наименьшая.

 

 

Закон Пуазейля. Гидравлическое

 

(периферическое) сопротивление.

 

 

Французский врач и физик Пуазейль, изучая движение жидкости по цилиндрической трубе, вывел закон, который получил его имя.

Введём единицу Q , которая будет обозначать секундный объём жидкости, протекающий через трубу, т.е. Q = V/t или dQ = vdS или dQ = v2prdr

 

 

Имеем из предыдущего параграфа:

 

v = (p1 – p2) (R² – r²)

Lh

 

Тогда :

dQ = p(p1 – p2) (R² – r²)rdr

Lh

 

Получили дифференциальное уравнение. Решая его, интегрируя по всему сечению, получим:

Q = (p1 – p2)pR⁴

Lh

Можно сравнить его с законом Ома для участка цепи: I = U/R

I ~ Q

U~ (p1 – p2)

R~ Z

 

Q = (p1 – p2)/Z

 

Здесь Z = 8lh/pR⁴ - гидравлическое (периферическое) сопротивление.

 

Следует отметить, что оно сильно зависит от радиуса трубы. При увеличении радиуса трубы в 2 раза, гидравлическое сопротивление уменьшается в 16 раз! Вот как выгодно для уменьшения сопротивления увеличивать радиус трубы.

 

Ламинарное и турбулентное течение.

Число Рейнольдса.

 

Когда жидкость течёт в трубе, то можно заметить такую закономерность: когда скорость жидкости мала, то её течение – плавное и скорость течения по мере удаления от оси трубы изменяется по параболическому закону. Такое течение называется ламинарным.

 

Турбулентное течение

 

Когда же скорость движения жидкости станет выше определённого значения, в потоке жидкости появляются завихрения и порядок перемещения слоёв нарушается. Такое течение называется турбулентным (от слова турбо- обозначает вихрь) .

 

Турбулентное движение жидкости создаёт шум, тогда как ламинарное движение – бесшумно.

Критерием перехода от ламинарного движения к турбулентному служит число Рейнольдса

Re = rvD/h

Если Re > Reкр - то движение жидкости становится турбулентным .

Для гладких цилиндрических труб Reкр =2300.

Число Рейнольдса ещё можно записать в следующем виде:

Re = vD/n

Здесь n - кинематическая вязкость м²\с. В системе СГС единицей кинематической вязкости является стокс. 1ст = 10^-4 м²\с.

Чем шире труба – тем на меньшей скорости возникает турбулентность

Мы часто в жизни замечаем турбулентность в движении жидкости. Журчание ручья, шипение воды в водопроводной трубе - это признак того, что имеет место турбулентность. Турбулентность может также проявляться при движении газов.