Примеры решения задач по парной регрессии
Задача 1.Исследуя спрос на продукцию фирмы, аналитический отдел собрал данные по 20 торговым точкам компании и представил их в виде: ln y = 6,8 – 0,6 ln x + ε, (2,7) (-2,8) где y – объем спроса, x – цена единицы продукции. В скобках приведены фактически значения t – критерия. Ранее предполагалось, что увеличение цены на 1% приводит к уменьшению спроса на 1,2%. Можно ли утверждать, что приведенные результаты подтверждают это предположение? Решение: Уравнение регрессии в прологарифмированном виде. Судя по форме записи, уравнение имеет степенной вид и записывается так: Надо проверить предположение о том, что эластичность спроса по цене равна –1,2. В степенной зависимости эластичность равна показателю степени b , поэтому оценка эластичности равна –0,6. Таким образом, задача сводится к проверке статистической гипотезы (нуль - гипотезы) H0:b=-1,2 против альтернативной H1:b≠-1,2. Критическая область двусторонняя, поэтому проверка гипотезы может быть заменена построением доверительного интервала для b и, если проверяемое значение b=-1,2 попадает в него, то нуль-гипотеза не отклоняется; в противном случае принимается альтернативная гипотеза. Интервал строится по формуле (23): -0,6-mb·tтаб < b < -0,6+mb·tтабл. Определим стандартную ошибку параметра b из формулы (21): mb = = = 0,2143 Для определения tтабл зададим уровень значимости, равный 0,05, следовательно: tтабл(α; n-2) = tтабл(0,05;18) = 2,1 (используем таблицу критических точек распределения Стьюдента для двустороннего α=0,05). Доверительный интервал равен: -0,6-0,2143·2,1 < b < -0,6+0,2143·2,1 или -1,05 < b < -0,15. Значение, равное –1,2, в интервал не попадает, следовательно, предположение о значении коэффициента эластичности на уровне значимости 0,05 следует отклонить. Однако, если задать значимость на уровне 0,01, то tтабл=2,88, и интервал будет таким: -1,217 < b < 0,017 Следовательно, на уровне значимости 0,01 первоначальное предположение не может быть отклонено, поскольку значение –1,2 попадает в доверительный интервал. Можно проверить статистическую гипотезу напрямую, вычислив t –статистику для разницы между гипотетическим и вычисленным значениями b: = = = 2,8. Сравним полученную статистику по абсолютной величине с критическим значением на заданном уровне значимости. На уровне α=0,05: ; Нуль-гипотеза отклоняется, эластичность спроса по цене не может быть равна –1,2. На уровне α=0,01: ; нуль-гипотеза не отклоняется, эластичность может быть равна –1,2. ■
Задача 2.Для двух видов продукции А и Б зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом: = 15 + 8·lnx, = 25x0,3. Сравнить эластичность затрат по каждому виду продукции при x=50 и определить объемы продукции обоих видов, при котором эластичности будут одинаковы. РешениеРегрессионная зависимость для продукции А является полулогарифмической, и для вычисления эластичности воспользуемся формулой: ЭА = = = 0,173. Для продукции Б регрессионная зависимость является степенной, где коэффициент эластичности равен показателю степени при любых значениях независимой переменной, следовательно: ЭБ = 0,3. Теперь определим точку, в которой эластичности по обоим видам продукции одинаковы. Для продукции Б подходит любой объем, т.к. эластичность постоянна, а для определения объема выпуска продукции А составим и решим уравнение: = 0,3; отсюда xА = 4,3 единиц. Таким образом, при объеме производства продукции А, равном 4,3, эластичности удельных постоянных расходов обоих видов продукции по объему выпуска одинаковы и равны 0,3. ■
Задача 3.Пусть имеется уравнение парной регрессии: y = 5 - 6x + ε, построенное по 15 наблюдениям. При этом r = –0,7. Определить доверительный интервал, в который с вероятностью 0,99 попадает коэффициент регрессии. Решение:Для построения доверительного интервала необходимо знать стандартную ошибку mb коэффициента регрессии. Однако она не задана, и нужно определить ее косвенным путем. Для этого воспользуемся тем, что в парной регрессии существует связь между t- и F-статистиками: tb = , а F - статистику определим из формулы (19): F = · (15-2) = 12,5; tb = = –3,53; (берем минус, так как знак оцененного коэффициента b отрицательный). mb = ; Доверительный интервал имеет вид (tтабл(0,01;13)=3,01): -6 – 1,7·3,01 < b < -6 + 1,7·3,01 или -11,11 < b < -0,89. ■
Задача 4.Уравнение регрессии потребления материалов от объема производства, построенное по 15 наблюдениям, имеет вид: y = 5 + 5x + ε (4,0) В скобках – фактическое значение t-критерия. Определить коэффициент детерминации для этого уравнения. Решение: Зная t-критерий для коэффициента регрессии, вычислим F - критерий для данного уравнения: F = tb2 = 42 = 16. Далее воспользуемся уравнением (19), из которого определим коэффициент детерминации при n=15: . ■
Задача 5.По совокупности 18 предприятий торговли изучается зависимость между ценой x на некоторый товар и прибылью y торгового предприятия. При оценке регрессионной модели были получены следующие результаты: Определить индекс корреляции и фактическое значение F-критерия, а также статистическую значимость уравнения регрессии. Построить таблицу дисперсионного анализа. Решение: В условиях задачи n=18; остаточная СКО равна 23, а общая СКО – 35. Для расчета индекса корреляции воспользуемся выражением (54): R = ; R2 = 0,343.
Фактическое значение F-критерия рассчитаем с помощью выражения (19): F = При проверке статистической значимости уравнения в целом воспользуемся F-критерием и сравним его с критическим значением, задавшись уровнем значимости 0,05. Табличное (критическое) значение при этом равно: Fтабл(0,05;1;18-2) = 4,49. Поскольку фактическое значение, равное 8,35, больше критического, нуль-гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии следует отклонить, и уравнение на уровне α=0,05 является значимым; статистическая связь между y и x считается доказанной. Однако, если задать α=0,01, то: Fкр = Fтабл(0,01;1;16)=8,53, и в этом случае нуль-гипотезу отклонить нельзя, на уровне α=0,01 уравнение не значимо. Для построения таблицы дисперсионного анализа определим из балансового уравнения (13) величину факторной СКО: Поскольку мы имеем дело с парной регрессионной зависимостью, число степеней свободы факторной СКО принимаем равным единице. С учетом этих условий таблица дисперсионного анализа выглядит следующим образом:
■ Задача 6.Зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих характеризуется моделью: . Ее использование привело к результатам, представленным в таблице:
Оценить качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера. Решение: Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле: и характеризует среднее отклонение расчетных значений от фактических. Это значение считается приемлемым, если оно не превышает 8-10%. Для приведенных в таблице данных имеем: что оказывается в допустимых границах и говорит о приемлемой точности аппроксимации регрессионной модели. Индекс корреляции рассчитаем по формуле (54), предварительно определив общую и остаточную СКО. R2=0,425. F-критерий рассчитаем по формуле (55) с учетом того, что число параметров при переменной x равно двум (зависимость квадратическая, эти параметры – b и c): Сравним это значение с критическим на уровне 0,05: , , следовательно, уравнение в целом на уровне 0,05 не значимо. Можно предположить, что в исследованном диапазоне строить квадратическую регрессию нецелесообразно. По – видимому, есть смысл упростить уравнение регрессии и описать исходные данные с помощью линейной зависимости. ■
Задача 7. Для следующих уравнений регрессии: а) б) в) г) определить коэффициенты эластичности при значении фактора, равном 85. Решение. а) Уравнение регрессии является линейным, поэтому коэффициент эластичности равен . б) Здесь имеем дело с полулогарифмической зависимостью: . в) Это преобразованная (путем логарифмирования) степенная зависимость; её коэффициент эластичности постоянен и равен показателю степени, т.е. 0,0024. г) В данном случае зависимость показательная (или экспоненциальная), в преобразованном виде логарифмируется только зависимая переменная. В любой из трех форм записи экспоненциальной регрессии коэффициент эластичности равен произведению коэффициента при факторе на значение самого фактора, т.е. . ■
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (5674)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |