В чём смысл частных производных?
По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную: – это функции, которые характеризуют скорость изменения функции в направлении осей и соответственно. Так, например, функция характеризует крутизну «подъёмов» и «склонов» поверхности в направлении оси абсцисс, а функция сообщает нам о «рельефе» этой же поверхности в направлении оси ординат. ! Примечание: здесь подразумеваются направления, которые параллельны координатным осям. В целях лучшего понимания рассмотрим конкретную точку плоскости и вычислим в ней значение функции («высоту»): Вычислим частную производную по «икс» в данной точке: Теперь узнаем характер «местности» по направлению оси ординат: Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Чем полученное значение больше по модулю – тем поверхность круче, и наоборот, чем оно ближе к нулю – тем поверхность более пологая. Так, в нашем примере «склон» по направлению оси абсцисс более крут, чем «гора» в направлении оси ординат. Но то были два частных пути. Совершенно понятно, что из точки, в которой мы находимся, (и вообще из любой точки данной поверхности) мы можем сдвинуться и в каком-нибудь другом направлении. Таким образом, возникает интерес составить общую «навигационную карту», которая сообщала бы нам о «ландшафте» поверхности по возможностив каждой точке области определения данной функции по всем доступным путям. Систематизируем элементарные прикладные правила: 1) Когда мы дифференцируем по , то переменная считается константой. 2) Когда же дифференцирование осуществляется по , то константой считается . 3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование. Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре. Обозначения: Со второй производной нет никаких проблем. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной. Для удобства я перепишу уже найденные частные производные первого порядка: Сначала найдем смешанные производные: Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек». Аналогично: В практических примерах можно ориентироваться на следующее равенство: Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка. Находим вторую производную по «икс». Аналогично: Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для их проверки не существует. Вторые производные также находят широкое практическое применение, в частности, они используются в задаче отыскания экстремумов функции двух переменных. Пример 2 Вычислить частные производные первого порядка функции в точке . Найти производные второго порядка. Пример 3 Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка . Решение: Находим частные производные первого порядка: Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении. Дальнейшие комментарии: (1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом. (2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни. (1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является . (2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения . (3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: . Теперь находим смешанные производные второго порядка: , значит, все вычисления выполнены верно. Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах. Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид: В данном случае: То есть, в формулу нужно Пример 4 Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции. Пример 5 Найти частные производные первого порядка функции . Решение: (1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . Следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется. (2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде. Аналогично: Запишем полный дифференциал первого порядка: Пример 6 Найти частные производные первого порядка функции . Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации. Пример 7 Найти частные производные первого порядка функции . (1) Используем правило дифференцирования суммы (2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль. Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции. (1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции. Мехматовский анекдот для разрядки: Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает: – А почему это ты от меня никуда не убегаешь? – Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь! На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает: – Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем. Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку». Пример 8 Найти частные производные первого порядка функции . Это пример для самостоятельного решения. Пример 9 Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом. Что дальше? Дальше знакомимся с родственной темой – частными производными функции трёх переменных. После этого я рекомендую ДОБРОСОВЕСТНО (жить будет легче ;) отработать технику дифференцирования. Примеры: , , , , , ,
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1639)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |