Интервальные оценки параметров нормального распределения
1) Доверительный интервал для математического ожидания при известной s2. Случайная величина х имеет нормальное распределение N(а; s), причём а – неизвестно, s² – известно. Эффективной оценкой для неизвестного математического ожидания а является выборочное среднее , которое имеет нормальное распределение: N(а; ). Следовательно, статистика Z= имеет нормальное распределение N(0; 1), не зависит от параметра а, непрерывна и строго монотонна. С учётом симметрии нормального распределения Р(- Ua < Z < Ua) = 1 - a для данного уровня значимости a: - Ua< <Ua или -Ua <а< +Ua где Ua находят из таблиц функции Лапласа Ф(Ua)= . Точность оценки e =Ua . 2) Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной s2. Итак, случайная величина х ~ N(а; s), причём а и s² – неизвестны. Эффективной оценкой для а будет , для s²–S²= . Статистика t(n–1)= имеет распределение Стьюдента с (п–1) степенями свободы. С учётом симметрии, имеем P(- ta < t < ta) = 1 - a или - ta < < ta Окончательно имеем доверительный интервал: - ta < а < + ta . Точность интервальной оценки определяется формулой e = ta , где taº tg(f)º tg(n–1) – коэффициент Стьюдента из таблиц.
При одном и том же g с увеличением числа степеней свободы n–1 доверительный интервал уменьшается, приближаясь к нормальному. При n – 1 = const с увеличением g доверительный интервал увеличивается.
3)Доверительный интервал для дисперсии s2 при известном а.
Эффективная оценка для s2 при неизвестном математическом ожидании а является: S² = Используется статистика: c²(п) = Надёжность оценки: Р( < c² < ) = 1 - a Критические границы - находят из таблиц при ; - находят при 1- с числом степеней свободы п, т.к. распределение c² не является симметричным. Таким образом, доверительный интервал для этого случая: < < Решив это неравенство относительно s2, получим < s2 < Из этой интервальной оценки легко получить оценку для среднеквадратического отклонения: <s <
4)Доверительный интервал для дисперсии s2 при неизвестном а.
Эффективной оценкой для а является , для дисперсии s2 является: S² = - исправленная выборочная дисперсия. Используется статистика: c²(п - 1) = . Аналогично пункту 3 данного параграфа имеем: Р = 1 - a где - находят при ; - находят при 1- для c² с числом степеней свободы п-1. Аналогично находится доверительный интервал для среднеквадратического отклонения s.
5)Доверительный интервал для генеральной доли (вероятности р).
При большом п и при отсутствии нормального распределения величины х, в силу центральной предельной теоремы, случайная величина: Z = приближённо имеет нормальное распределение N(0; 1). Если х = т / п – относительная частота успеха, s² = п р q, а = р, то Z = = Используя симметрию нормального закона, имеем: < Ua, где Ф(Ua) = 1 - или окончательно - Ua < Р < + Ua Р* - Ua < Р < Р* + Ua При небольшом числе испытаний формула для доверительной вероятности для доли усложняется: Рв,н = где п – число испытаний, т – число одной из групп, Ф(Ua) = -функция Лапласа. Таким образом, доверительный интервал для генеральной доли определяется неравенством Рн < Р < Рв
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (621)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |