Нормальное распределение

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпирическое распределение к типу кривых нормального распределения

Рис. 2. Ряды распределения с положительным (а) и отрицательным (б) эксцессом

В статистике распространены различные виды теоретических распределений: нормальное. биномиальное, Пуассона и др. Каждое из теоретических распределений имеет свою специфику и область применения.

Биномиальное распределение применяется при изучении распределений по альтернативным признакам, характеризующимся определенной вероятностью появления или отсутствия изучаемого события. Это распределение именуется так из-за его отношения к разложению двучлена (p+q)ⁿ . Вероятность того, что событие наступит равна p, вероятность того, что событие не наступит равна (1-р)=q. И, следовательно, p+q=1. Члены p и q относятся к вероятности наступления или ненаступления только одного события. Для двух событий вероятность наступления события по з-ну умножения равна р² , вероятность наступления в первом случае и ненаступления во втором равна p*q, вероятность ненаступления в первом и наступления во втором равна q*p, ненаступления двух событий q² . Общая вероятность может быть представлена алгебраически и равна р² + 2pq+ q² или (p+q)² . Для трех событий р³ + 3pq²+3p²q +q³. или (p+q)³

Распределение Пуассона используется при анализе распределения маловероятных и редко встречающихся событий. И имеет следующий вид:

,

где -среднее число появления событий в одинаковых независимых испытаниях ( -вероятность события при одном испытании), m- частота данного события.

Например, в результате проверки 1000 партий одинаковых изделий получено следующее распределение кол-ва бракованных изделий в партии.

Таблица 1

Количество брака	m1						Итого
Количество партий, содержащих данное число бракованных изделий	f1
Теоретическая частота

определим среднее число бракованных изделий в партии:

Находим теоретические частоты закона Пуассона:

,

m_i=0 =1000*0,606=606

m_i=1 =1000*0,5*0,606=303

m_i=2 =(1000*0,25*0,606)/2=76

m_i=3 =(1000*0,125*0,606)/6=13

m_i=4 =(1000*0,125*0,5*0,606)/24=2

Сопоставление свидетельствует о соответствии эмпирического распределения распределению Пуассона.

Степень расхождения частот оценивается с помощью критериев согласия.

Это распределение необходимо для анализа времени ожидания обслуживания клиентов услугами связи, а также времени безотказной работы технических средств и сетей связи.

Нормальное распределение.

Если непрерывная случайная величина имеет плотность распределения:

то она подчиняется закону нормального распределения. Для построения кривой нормального распределения надо знать два параметра — и

Нормальное распределение возможно в том случае, когда на величину признака влияет большое число случайных причин. Действие этих причин независимо, и ни одна из причин не имеет преобладающего влияния на другие.

Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем используются заранее табулированные значения плотности функции распределения нормированной случайной величины. Если обозначим черезt, то величину назовем нормированной функцией; эта функция табулирована. Для нормированной случайной величины математическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна единице.

Определенный интеграл вида F(t)= носит название нормированной функции Лапласа и характеризует площадь под кривой в промежутке от 0 до t (см. Приложение 2).

Чтобы оценить вероятность попадания в интервал от -¥ доx, рассчитываем F(х) = 1/2 + F(t). Для определения вероятности попадания нормально распределеннойслучайной величиных в заданный интервал (x₁;x₂)находим разностьF(х₂) — F(х₁):

где

Например, текущая цена акций примерно подчиняется нормальному закону со средней153 руб. и средним квадратическим отклонением 1,2 руб. Определим вероятность того, что цена акций будет находиться между 150 руб. и 155 руб.

Значениям цены акций 150 и 155 руб. будут соответствовать нормированные отклонения: и

Значения нормированной функции, соответствующие данным значениям t₁ и t₂, находятся по Приложению 2:

F(t₁=-2,5)=-0,4938 [F(-t)=-F(t)];

F(t₂=1,67)=-0,4118

Разность F(t₂)-F(t₁)=0,4118-(-0,4938)=0,9056

Таким образом, вероятность того, что одна акции будет находиться в пределах от 150 до 155 руб., равна 90,56%.