Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Теорема умножения вероятностей




Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

(доказательство самостоятельно)

Следствия: 1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: .

2. Обобщим теорему на случай конечного числа событий.

Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению вероятностей этих событий, причём вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Пример: В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение: А1 - появление белого шара при первом вынимании,

А2 - появление белого шара при втором вынимании,

А - появление двух белых шаров.

а) шар не возвращается в урну: ;

б) шар возвращается в урну: .

 

§5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

 

Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и теоремы умножения – являются формулы полной вероятности и Байеса (Байес Томас английский математик 1702-1761).



Пусть событие А может произойти только при условии появления одного из событий Н1, Н2,…, Нn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события Нi называть гипотезами.

В этом случае имеет место формула полной вероятности:

Доказательство.

Так как, Н1, Н2,…, Нn образуют полную группу, то

Применим теоремы сложения и умножения вероятностей (учитывая, что – несовместные события):

Или , что и требовалось доказать.

Пусть событие А произошло. Необходимо выяснить, изменятся ли вероятности гипотез. Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn) – априорные вероятности;

Р(Нi/A) – апостериорные вероятности (получаемые после проведения испытания).

По теореме умножения вероятностей имеем:

тогда

Воспользуемся формулой полной вероятности и получим формулы Байесаили теорему гипотез:

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, то есть по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы Нi. Такой подход, называемый байесовским, даёт возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.

Пример: В торговую фирму поступили телевизоры от трёх поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го,

2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98, 88 и 92% случаев.

1) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

Решение:

1)Пусть Нi - телевизор поступил в торговую фирму от i -го поставщика.

По условию: ; ; .

А – телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Р(А/H1)=0,98; Р(А/H2)=0,88; Р(А/H3)=0,92

Тогда

2) – телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока

; ; ;

Наиболее вероятна гипотеза Н2 - поступление данного телевизора от 2-го поставщика.

 




Читайте также:
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1099)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.008 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7