Повторные независимые испытания
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при данном комплексе условий, в которых представляет интерес вероятность числа m наступлений некоторого события А в n испытаниях. Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Такая последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли (Якоб Бернулли швейцарский математик 1654 – 1705).
Формула Бернулли. Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна , где q=1-p (доказательство самостоятельно) Следствия: 1. (вероятность того, что событие А не произойдет ни разу). 2. (вероятность того, что событие А произойдет n раз). 3. (вероятность того, что событие А произойдет только один раз). 4. (вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз). Наивероятнейшее число Число наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если по крайней мере не меньше вероятности других событий при любом m, то есть Можно показать, что: Пример: Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных и вероятность этого числа. Пусть событие А- изготовление бракованной детали. P(A)=1-0,8=0,2=p, q=0,8, n=5 5∙0,2-0,8≤ 5∙0,2+0,2 0,2≤ 1,2 =>
Замечание: Если m и n велики, p мало, то вычисление по формуле Бернулли будет затруднительно. В этом случае применяют приближенные, так называемые асимптотические формулы.
Формула Пуассона. (Пуассон Симеон Дени французский математик 1781-1840) Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (p→0) при неограниченном увеличении числа испытаний (n→∞), причем произведение np стремится к постоянному числу λ (np→λ), то вероятность того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, приближенно равна: , где λ=np Функция - функция Пуассона. Для нахождения значений этой функции существуют специальные таблицы для различных m и λ. Замечание: формула Пуассона применяется, когда npq≤10. Пример: На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1сентября является днем рождения четверых студентов? n=1825 , m=4 , p= , λ=np=1825∙ Применим приближенную формулу Пуассона: 0.1755 (нашли по таблице)
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (745)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |