Методические указания по решению ЗЛП в среде Exсel

Максимизация прибыли предприятия

Постановка задачи

Для выпуска 4 - х видов продукции требуется сырье, рабочее время и оборудование.

Для выпуска одной единицы продукции 1 - ого вида необходимо 3 ед. сырья, 22 ед. рабочего времени и 10 ед. оборудования.

Для выпуска одной единицы продукции 2 - ого вида необходимо 5 ед. сырья, 14 ед. рабочего времени и 14 ед. оборудования.

Для выпуска одной единицы продукции 3 - его вида необходимо 2 ед. сырья, 18 ед. рабочего времени и 8 ед. оборудования.

Для выпуска одной единицы продукции 4 - ого вида необходимо 4 ед. сырья, 30 ед. рабочего времени и 16 ед. оборудования.

Прибыль от продажи одной единицы продукции 1 - ого вида 30 руб., 2 - ого вида – 25 руб., 3 - его вида – 8 руб., 4 - ого вида – 16 руб.

Ресурсы ограниченны: имеется 60 ед. сырья, 400 ед. рабочего времени и 120 ед. оборудования.

А) Какое количество продукции каждого вида необходимо выпустить, чтобы максимизировать прибыль предприятия?

Б) Все ли продукты вошли в оптимальный план или существуют убыточные? На сколько нужно увеличить прибыль от продажи одной единицы убыточной продукции, чтобы она вошла в оптимальный план?

В) Каковы интервалы устойчивости для прибыли за одну единицу продукции каждого вида? Изменится ли оптимальное решение, если прибыли от продажи одной единицы продукции 4 – ого вида увеличить на 15 ед., 33 ед.? Уменьшить на 10 ед.?

Г) Какие ресурсы являются дефицитными? Как изменится оптимальное решение, если ресурс оборудование увеличить на 1 ед., уменьшить на 100 ед., 50 ед.?

Для удобства сведем данные задачи в следующую таблицу:

Таблица 1

Решение

I этап: Составление математической модели

Элементы модели:

Переменные (неизвестные) задачи

Так как в задаче требуется определить количество продукции каждого вида, то введем следующие переменные:

x₁ –количество единиц продукции 1 - ого вида,

x₂ – количество единиц продукции 2 - ого вида,

x₃ –количество единиц продукции 3 - его вида,

x₄ –количество единиц продукции 4 - ого вида.

Целевая функция

Т.к. цель задачи – максимизировать прибыль от продажи продукции (Р), то Р будет иметь вид:

Р=30*x₁+25*x₂+8*x₃+16* x₄ (руб.) (*)

Ограничения

Исходя из выражения для целевой функции, можно увидеть, что чем больше будут значения x₁, x₂, x₃ ,x₄, тембольше будет прибыль Р.

Однако беспредельно увеличивать выпуск продукции невозможно, т.к. ресурсы предприятия ограничены, что приводит к ограничениям на x₁, x₂, x₃ ,x₄.

3*x₁+5*x₂+2*x₃+4*x₄ 60, (1)

22*x₁+14*x₂+18*x₃+30*x₄ 400, (2)

10*x₁+14*x₂+8*x₃+16*x₄ 120, (3)

xi 0, i=1,2,3,4, (4)

Примечание:

· В левой части i-ого i=1,2,3 функционального ограничения записано общее количество ресурса i-ого i=1,2,3 вида (сырья, рабочего времени и оборудования), необходимого для производства всей продукции.

· В ограничениях фигурирует знак “ ”, т.к. количество ресурса, используемого для производства всей продукции, не должно превосходить запаса данного ресурса.

· Прямые ограничение (4) представляет собой следующее естественное условия: количество единиц выпускаемой продукции должно быть не отрицательным.

Таблица 2

Неизвестные
x1 –количество единиц продукции 1 - ого вида, x2 –количество единиц продукции 2 - ого вида, x3 –количество единиц продукции 3 - его вида, x4 –количество единиц продукции 4 - ого вида.
Целевая функция	Ограничения
Р=30*x1+25*x2+8*x3+16* x4 (руб.)	3*x1+5*x2+2*x3+4*x4 60, 22*x1+14*x2+18*x3+30*x4 400, 10*x1+14*x2+8*x3+16*x4 120, xi 0, i=1,2,3,4