Дифференциальное уравнение(ДУ)
Осн.понятия О1. ДУ – ур-е, содержащее неизвестную ф-цию, независимую переменную и ее производные различных порядков. Если неизвестная ф-ция зависит от одной независим переменной, то ДУ – обыкновенное ДУ (ОДУ). Если неизвестн ф-ция содержит 2 и > независ переменных, то ДУ назыв ур-е частичных производных. В общем виде ОДУ можно записать F(x,y,y’, … , y(n))=0 (1) неявный y(n) =f(x,y,y’,…,y(n-1)) (2)явный Порядок старшей производной, входящей в ур-е назыв порядком ур-я. О2. ф-ция у=у(х) назыв решением ДУ (1) или (2) если, будучи подставленным в соответствующ ур-е вместе со всеми своими производными, она обращает его в верное равенство. Задача нахождения решения ДУ назыв задачей интегрирования ДУ. О3. Общим решением ДУ (1), (2) n-го порядка назыв ф-ция вида y=j(x,c1,c2,…,cn), которая зависит от переменной х и n произвольных постоянных О4. Частичным реш ДУ наз реш, полученное из общего при некоторых конкретных числовых значениях постоянных c1,c2,…,cn Демографическая модель Из статистики известно, что для конкретного региона число рожд и умерш за единицу времени пропорционально численности населения с коэф. пропорциональности k1,k2. Найти закон измен численности населения с течением времени, т.е. опис матем демограф процесс. Реш. Пусть y=y(t) –число жителей региона в момент времени t. ∆у – прирост населения за время ∆t где k=k1-k2 Разделим на ∆t , y’=ky, где k=k1-k2 y=cekx ДУ 1го порядка y’=f(x,y) (1) F(x,y,y’)=0 (2) 1) y’=f(x) dy/dx=f(x) dy=f(x)dx òdy=òf(x)dx y=òf(x)dx 2) y’=f(y) dy/dx=f(y)
3) f(x)dx=f(y)dy ДУ с разделенными переменными òf(x)dx=òf(y)dy 4)y’=f(x)gy или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y) ДУ с разделяющимися переменными Ур-е вида (4) реш по схеме: d(y)/d(x)=f(x)gy d(y)/g(x)=f(x)d(x) M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y) 5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка(ф-ция вида f(αx,αy)=αkg(x,y) назыв однородн ф-ция k-того порядка,αЄR) реш с помощью подстановки z=y/x y=zx y’=z’xx+z z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x 6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by
Теорема (Коши-Пикара). Пусть задано дифференциальное уравнение вида y’=f(х,у), где f(x,y) — функция, заданная в области D, и в D заданы начальные условия M0 (x0,y0)ЄD. В силу открытости области D можно указать числа а и b (а>0;-b>0) и для них замкнутую область : |х - x0|≤ а, |у- у0|≤b, такую, что ÌD. Пусть в области функция z=f(x,y): 1)непрерывна, а значит, и ограничена, т.е. |f-(x, y)|≤H; 2)имеет частную производную по y для любой точки М(х, у)Î и эта частная производная также ограничена в . Тогда существует решение задачи Коши для начальных условий М0(х0, у0): y=j(x), y0 = j(x0), это решение единственное, причем функция у=j(х), оставаясь решением уравнения y(n)=f(x,y,y’,…,y(n-1)) , задана, по крайней мере, на отрезке |х-x0|≤h, где h=min(а, b/Н) и |j(x)-y0|≤b. Доказательство этой теоремы не приводим. Замечание. Поскольку решение у = j(х) задано для |х - х0| ≤h, т.е. –h+x0≤x≤h+x0, то если взять произвольную точку х1 такую, что -h+x0<x1< h+x0, и вычислить y1 = j(x1), начальным условиям M1(x1,y1) будет соответствовать то же решение у = j(х); измениться в этом случае может лишь h в неравенстве |х — х1|≤ h. Общее решение. Пусть в DÌR2 задано дифференциальное уравнение y’=f(х,у) и в любом ÌD выполняются условия теоремы Коши — Пикара. Тогда однопараметрическое семейство функций у = j(х, С),непрерывно дифференцируемых по х и непрерывных по С в некоторой области Г(х, С), называется общим решением уравнения в области D, если: 1) у =j(х, С) является решением уравнения y’=f(х,у) для всех фиксированных С из некоторой области GÌR (на множествах X с, таких, что для любых х Î X с и у =j(х) (х, у) Î D); 2) для любых начальных условий М0(х0, y0) Î D существует такое С0 Î G, что y0=j(х0, С0), т. е. уравнение y’=f(х,у) дает решение задачи Коши.
4.3.1.ДУ с разделяющимися переменными – уравнения вида: 1. M(x)N(y) dx+K(x)L(y)dy=0 2. y`=f(x)g(y) Решаются по схеме: 1. Делим на N(y)K(x): M(x)/K(x)dx+L(y)/N(y)dy=0 и интегрируем обе части( в правой части вместо 0 будет С) 2. dy/dx=f(x)g(y). Обе части * на dx и / на g(y), получим: dy/g(y)=f(x)dx и интегрируем обе части. 4.3.2.Однородные функции и однородные ДУ. Функция f( )= *g(x,y) наз. Однородной функцией k-того порядка, R. ДУ вида y`= f(x.y) наз. Однородным, если z=f(x,y) – однородная функйия нулевой степени, т.е. для любых t f(tx,ty)=f(x,y).Аналогично ДУ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 наз. Однородным, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одной степени.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (465)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |