Метод разделения переменных для струны, закрепленной на концах
Физический смысл дивергенции векторного поля. Инвариантное определение дивергенции. В разделе 17.2.2.1. Дивергенция векторного поля мы определили дивергенцию как выражение в определённой системе координат : . Теорема Остроградского позволяет понять смысл дивергенции поля в точке М как объективного атрибута векторного поля без использования координатной системы. Пусть - замкнутая поверхность, окружающая точку М, V - тело, заключенное внутри , - вектор единичной внешней нормали к . Тогда . По теореме о среднем для тройного интеграла существует точка такая, что . Следовательно, . Отношение значения некоторой физической величины к объёму принято называть средней плотностью этой величины в объёме; если объём стягивается к точке М, предел средней плотности называется локальным значением плотности в точке М. Таким образом, мы можем трактовать как среднюю плотность потока в объёме V. Будем теперь стягивать к точке М, при этом и V стягивается к точке М; , и, вследствие непрерывности , . Поэтому будет равна плотности потока в точке М, и так как плотность потока определяется независимо от выбора какой-либо системы координат, то дивергенция векторного поля инвариантна относительно выбора координатной системы. Используем теперь гидродинамическую интерпретацию поля для выяснения физического смысла дивергенции. Пусть (M) - стационарное поле скоростей несжимаемой жидкости. В каком случае поток через замкнутую поверхность может быть отличен от нуля, т.е. в каком случае из V вытекает больше жидкости, чем втекает (при П>0) или наоборот (при П<0)? Ясно, что П>0 может быть только в том случае, если в V появляется дополнительная жидкость, т.е. в V имеются источники поля. П<0 может быть только в том случае, если в V исчезает часть жидкости, т.е. в V имеются стоки поля. Поэтому как плотность потока в точке М определяет силу источника (при >0) или стока (при <0) в точке М. По аналогии с полем скоростей жидкости считают, что дивергенция определяет силу источников и стоков поля в любом поле (M). Оператор Лапласа.
Задача Коши для одномерного волнового уравнения на прямой
ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа мы начинаем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны (задача Коши). (1) utt - a2 uxx = 0, . (2) , t > 0. Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик: dx2 - a2 dt2 = 0 распадается на два уравнения: dx - adt = 0 , dx + adt = 0 интегралами которых являются прямые x - at = c1, x + at = c2. Вводим, как обычно новые переменные: ξ = x + at, η = x - at. Уравнение колебаний струны преобразуем к виду: (3) uξ η = 0 Проинтегрируем (3) по переменной ξ :
Проинтегрируем полученное равенство по η и получим: Итак общее решение дифференциального уравнения (3) может быть записано: u(ξ, η) = F(ξ) + G(η) Возвращаясь к исходным переменным (x,t), получаем: (4) u(x,t) = F(x + at) + G(x - at) Определим функции F и G таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия. Для этого подставим общее решение в начальные условия (2): Интегрируя второе равенство, получим: Из полученных равенств находим: (5) Таким образом, мы определили функции F и G через заданные функции φ и ψ . Подставляя в (4) найденные значения получим: u(x,t) = F(x + at) + G(x - at) (6) Формула (6) называется формулой Даламбера. Она определяет решение задачи Коши для волнового уравнения.
Метод разделения переменных для струны, закрепленной на концах
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (629)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |