Уравнение теплопроводности. Интеграл Пуассона
Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции: Составим дифференциальное уравнение: Выражение называется оператором Лапласа. Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид: и называется уравнением теплопроводности в пространстве. В качестве частных случаев рассматривают: - уравнение теплопроводности в стержне, - уравнение теплопроводности на плоскости. В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению, начальному условию и граничным условиям .
В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим:
Отметим, что распространение тепла в теле называется стационарным, если функция u не зависит от времени t.
Интеграл Пуассона Интегра́л Пуассо́на позволяет получить решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре. Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u0: u(R, φ) = u0(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: , где ∂D — граница шара D, а — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона: где ωn — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства. Вывод формулы в двумерном случае Известно, что функция является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье: Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R: Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид: Уравнение Эйлера для функционала Лагранжа Пусть задан функционал с подынтегральной функцией , обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через f' обозначена первая производная f по x. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа. Доказательство Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления. Мы хотим найти такую функцию , которая удовлетворяет граничным условиям , и доставляет экстремум функционалу Предположим, что имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно. Если даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение , которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение (если минимизирует его) или уменьшать (если максимизирует). Пусть — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию . Определим Поскольку даёт экстремум для , то , то есть Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что
Используя граничные условия на , получим Отсюда, так как — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1018)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |