Основные правила дифференцирования функций
Дифференциальное исчисление функции Одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует. . (5.1) у f(x)
f(x0 +Dx) P Df f(x0) M
a b Dx 0 x0 x0 + Dx x
Рис. 5.1. Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. , где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)). Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке. Уравнение касательной к кривой: (5.2) Уравнение нормали к кривой: . (5.3) Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной. Физический смысл производной функции f(t), где t - время, а f(t)- закон движения – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение. Функция у= f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (а, b), называется дифференцируемой в этом интервале. Соответственно операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Рассмотрим основные свойства дифференцируемых функций. 1. Теорема 1 (необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке. 2. Теорема 2. Если функция у = f(x) на интервале (а, b) монотонна и имеет в произвольной точке х этого интервала производную не равную нулю, то обратная ей функция х = φ (у) также имеет производную в соответствующей точке и равна . (5.4) Следовательно, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Основные правила дифференцирования функций На практике нахождение производной функции часто связано с определёнными трудностями, поэтому удобно пользоваться в дальнейшем следующими правилами дифференцирования. Пусть функции u = u (x) и v = v(x) – дифференцируемы в точке х . а C – постоянная величина (C = const). Имеют место следующие правила: 1) ; 2) ; 3) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ ; 4) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v ; 5) , если v ¹ 0 . Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах. Ниже приводится таблица производных элементарных функций:
Производная сложной функции. Теорема.Пусть функции y = f(u) и u = g(x) дифференцируемы в соответствующей точке, причем область значений функции g(x) входит в область определения функции f. Тогда . (5.5) Доказательство. , ( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция) Тогда Теорема доказана.
Примеры. Найти производную 1) 2) Логарифмическое дифференцирование. На практике в ряде случаев для нахождения производной функции удобно вначале прологарифмировать эту функция, а затем результат продифференцировать. Такая двойная процедура называется логарифмическим дифференцированием. Метод логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким. Рассмотрим функцию . Тогда (lnïxï)¢= , т.к. . Учитывая полученный результат, можно записать . Здесь отношение называется логарифмической производной функции f(x). В результате . (5.6) Примеры. 1) Производная степенно-показательной функции . (5.7) 2) , 3) , .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1333)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |