Выбор шага интегрирования
Точность методов Эйлера и Рунге-Кутта существенно зависит от величины шага интегрирования h. Можно доказать [2], [3], что погрешность метода Эйлера имеет порядок h, а метода Рунге-Кутта – порядок . Т. е. для достижения одной и той же точности в методе Эйлера нужно выбрать гораздо меньший шаг интегрирования, чем в методе Рунге-Кутта. Рассмотрим подробнее процедуру выбора и уточнения шага интегрирования на примере метода Рунге-Кутта. Пусть – заданная точность решения задачи Коши. Поскольку (где c=const), то начальное значение можно выбрать из неравенства (4.8) При этом, чтобы попасть после n шагов интегрирования из точки a в точку b, необходимо одновременное выполнение условия: (целое число). (4.9) Кроме того, для подсчета погрешности метода Рунге-Кутта по формуле (4.7), нужно будет сделать просчет по формулам (4.5), (4.6) с шагом 2h. Поэтому необходимо также, чтобы отношение было четным. После выбора начального значения шага проводится его уточнение. Для этого из точки просчет по формулам (4.5), (4.6) выполняется дважды сначала с шагом h, а затем из той же точки с шагом 2h. При этом получаются два значения решения задачи ( и ) в одной и той же точке . Если , то можно выбрать в качестве шага интегрирования, иначе необходимо уменьшить h в два раза и повторить процедуру проверки.
Задание на лабораторную работу
1. Из табл. 4.1 выбрать свой вариант задания ( ).
Таблица 4.1 Варианты заданий
2. Выбрав в качестве начального шага интегрирования и , решить задачу Коши на отрезке методом Эйлера и определить по формуле (4.4) относительную погрешность найденного решения. 3. Выбрав в качестве начального шага интегрирования , решить задачу Коши на отрезке методом Рунге-Кутта. 4. Построить на миллиметровой бумаге графики решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта. 5. Продолжить работу в компьютерном классе. 6. Выписать значения «точного решения», полученного на компьютере с помощью стандартной функции odesolve системы Mathcad, в промежуточных точках для . Построить график решения по этим точкам. 7. Используя найденные в п.6 значения, составить таблицу локальных абсолютных погрешностей решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта на МК. 8. Выписать автоматически полученные на компьютере в разделе «Метод Рунге-Кутта» значения решения задачи Коши на отрезке методом Рунге-Кутта с начальным шагом интегрирования и, используя формулу (4.7), определить относительную погрешность данного решения. 9. Оформить отчет по работе, в который входят: титульный лист; таблица с решением задачи Коши методом Эйлера с шагом и ; относительная погрешность найденного решения методом Эйлера; таблица с решением задачи Коши методом Рунге-Кутта с шагом ; полученное на компьютере точное решение задачи Коши; таблица абсолютных погрешностей решений, найденных методами Эйлера и Рунге-Кутта; абсолютные погрешности этих решений; таблица с компьютерным решением задачи Коши методом Рунге-Кутта с шагом ; относительная погрешность найденного решения методом Рунге-Кутта.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (907)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |