Среднее арифметическое

Среднее арифметическое, или просто среднее, — одна из основных характеристик выборки.

Определение. Среднее арифметическое – такое значение признака, сумма отклонений от которого выборочных значений признака равна нулю (с учетом знака отклонения).

Если воспользоваться геометрической интерпретацией, то среднее арифметическое можно определить как точку на оси х, которая является абсциссой центра масс гистограммы.

Среднее принято обозначать той же буквой, что и варианты выборки, с той лишь разницей, что над буквой ставится символ усреднения — черта. Например, если обозначить исследуемый признак через X, а его числовые значения — через xi, то среднее арифметическое имеет обозначение .

Среднее арифметическое, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

Для несгруппированных данных среднее арифметическое определяется по следующей формуле:

(3.1)

где n — объем выборки; хi — варианты выборки.

Если данные сгруппированы, то

(3.2)

где n — объем выборки; k — число интервалов группировки; ni — частота i-ого интервала; хi — срединное значение i-ого интервала.

Среднее арифметическое – величина того же наименования, что и значения признаков.

Нахождение среднего арифметического непрерывного вариационного ряда осложняется если крайние интервалы не замкнуты (то есть имеют вид “менее 10” ”более 60”). В этом случае считается, что ширина первого интервала равна ширине второго, а ширина последнего – ширине предпоследнего.

Среднее арифметическое, вычисленное по формуле (3.2), называют также взвешенным средним, подчеркивая этим, что в формуле (3.2) xi, суммируются с коэффициентами (весами), равными частотам попадания в интервалы группировки.

Размах вариации – разность между максимальной и минимальной вариантами выборки:

Как видим, размах вычисляется очень просто, и в этом его главное и единственное достоинство. Информативность этого показателя невелика. Можно привести очень много распределений, сильно отличающихся по форме, но имеющих одинаковый размах. Размах вариации используется иногда в практических исследованиях при малых (не более 10) объемах выборки, Например, по размаху вариации легко оценить, насколько различаются лучший и худший результаты в группе спортсменов. При больших объемах выборки к его использованию надо откоситься с осторожностью.

Коэффициент вариации

Стандартное отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и характеризуемый им признак. Если требуется сравнить между собой степень варьирования признаков, выраженных в разных единицах измерения, возникают определенные неудобства. Пусть, например, результаты в беге на 100 м, показанные труппой IX классов, имеют стандартное отклонение 0,9сек (при среднем времени 14,8 сек), а исследование роста тех же учащихся показывает, что его стандартное отклонение составляет 6 см (при среднем росте 168 см). Какой из признаков варьирует сильнее? Очевидно, что только на основании сравнения стандартных отклонений на этот вопрос ответить нельзя. Требуется сопоставить стандартные отклонения со средними арифметическими этих признаков. Поэтому вводится относительный показатель

, (3.14)

называемый коэффициентом вариации.

Обычно он выражается в процентном отношении:

.

Коэффициент вариации является относительной мерой рассеяния признака.

Коэффициент вариации используется и как показатель однородности выборочных наблюдений. Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, т. е. полученной из одной генеральной совокупности.

Практически коэффициент вариации применяется в основном для сравнения выборок из однотипных генеральных совокупностей.

Коэффициент вариации можно использовать как относительную меру рассеяния только в тех случаях, когда значения признака измерены в шкале с абсолютным нулем.

К использованию коэффициента вариации нужно подходить с осторожностью. Продемонстрируем возможные ошибки на следующем примере. Если на основании многолетних наблюдений среднее арифметическое среднесуточных температур 8 марта составляет в какой-либо местности 0°С, то по формуле (3.14) получим бесконечный коэффициент вариации независимо от разброса температур. Поэтому в данном случае коэффициент вариации не применим! в качестве показателя рассеяния температур, а специфику явления более объективно оценивает стандартное отклонение 5.