Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее. Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид: По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д. Пример 3 Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения, при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения. 1) Из первого уравнения системы выражаем: Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби? И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу. 2) Дифференцируем по обе части: Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю. 3) Подставим и во второе уравнение системы : Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5: Теперь проводим упрощения: В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе. Примечание: Тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Составим и решим характеристическое уравнение: Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Подставим в левую часть неоднородного уравнения: Таким образом: Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ». В результате: 4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции : Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе. Подставим 5) Общее решение системы: 6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям : Окончательно, частное решение: Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем. Ответ: частное решение: Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры. Пример проще для самостоятельного решения: Пример 4 Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям Данная задача решена мной по образцу Примера №1, то есть, из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока. В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.
Метод характеристического уравнения (метод Эйлера) Как уже отмечалось в начале статьи, с помощью характеристического уравнения систему дифференциальных уравнений требуют решить довольно редко, поэтому в заключительном параграфе я рассмотрю всего лишь один пример. Пример 5 Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения Решение: Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка: Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали, вычитаем некоторый параметр : На чистовике, естественно, сразу следует записать характеристическое уравнение, я объясняю подробно, по шагам, чтобы было понятно, что откуда взялось. Раскрываем определитель: И находим корни квадратного уравнения: Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид: Коэффициенты в показателях экспонент нам уже известны, осталось найти коэффициенты 1) Рассмотрим корень и подставим его в характеристическое уравнение: Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Из обоих уравнений следует одно и то же равенство: Теперь нужно подобрать наименьшее значение , такое, чтобы значение было целым. Очевидно, что следует задать . А если , то 2) Всё аналогично. Рассмотрим корень и устно подставим его в характеристическое уравнение: Из чисел определителя составим систему: Из обоих уравнений следует равенство: Подбираем наименьшее значение , таким образом, чтобы значение было целым. Очевидно, что . Все четыре коэффициента найдены, осталось их подставить в общую формулу Ответ: общее решение:
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (571)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |