Векторное произведение векторов и его свойства

Операции над матрицами

Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.

Свойства сложения/ вычитания.

Суммой/разностью матриц А и В одного и того же размера называется матрица С того же размера элементами которой являются суммы/ разности соответствующих элементов исходных матриц.

1.

2.

3.

4. Если С = В + А => А = С – В , В = С – А

5.

Свойства умножения.

Произведение матрицы на произвольное число α называется матрица С того же размера что и матрица А элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А умноженным на число α.

1.

2.

3.

4.

Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель- число, характеризующее матрицу. Вычисление определителей.

1.

2.

3.

Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.

Свойства:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

7. Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополнение.

8. Сумма произведения элементов одного ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

Обратная матрица.

Пусть Х и А матрицы одного порядка и Х * А = А * Х = Е – единичная матрица, того же порядка что и матрица А, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А.

Обозначается -- .

Для того чтобы матрица А имела обратную необходимо и достаточно чтобы определитель матрицы А не был равен 0.

Невырожденная матрица– матрица, определитель которой не равен 0.

Свойства обратной матрицы.

1.

2.

3.

4.

Обратная матрица находится по формуле

Где - алгебраические дополнения.

Система лин. Ур-ий т. Крамера

Формула Крамера.

Подсчитать определитель матрицы А.

Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x₁. То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом.

Векторное произведение векторов и его свойства.

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.

Векторным произведением вектора на вектор (некомпланарных) называется вектор , который:

1. Перпендикулярен векторам и .

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и

, где

3. Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Свойства:

1.

2.

3.

4.

Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах и вычисляется по формуле: