Вектор-функция скалярного аргумента. Производная
Пусть множество значений вектор-функции скалярного аргумента приведено к общему началу в точке 0. Совместим с этой точкой начало декартовой системы координат. Тогда для любого вектор может быть разложен по ортам Таким образом, задание вектор-функции скалярного аргумента означает задание трех скалярных функций При изменении значения аргумента конец вектора будет описывать в пространстве кривую, которая называется годографом вектора Пусть для существует близкое значение Тогда производной вектор-функции поскалярному аргументу называется №17 Скорость и ускорение точки в криволинейном движении Скорость Скорость, вводится как характеристика движения материальной точки. Скорость является векторной величиной, которая характеризуется как быстротой движения (модуль вектора скорости), так и его направление (направление вектора скорости) в данный момент времени. Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории, при этом в момент времени t ей соответствует радиус-вектор r0 (рис. 1). За малый отрезок времени Δt точка совершит путь Δs и при этом получит элементарное (бесконечно малое) перемещение Δr. Рис.1 Вектором средней скорости <r> называется отношение приращения Δr радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt: (1) Направление вектора средней скорости совпадает с направлением Δr. При бесконечном уменьшении Δt средняя скорость стремится к значению, которое называется мгновенной скоростью v: Значит, мгновенная скорость v есть векторная величина, которая равна первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Т.к. в пределе секущая совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 2).
Рис.2 При уменьшении Δt, Δs все сильнее будет приближаться к |Δr|, поэтому модуль мгновенной скорости Значит, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени: (2) При неравномерном движении модуль мгновенной скорости различен в разные моменты времени. В этом случае применяют скалярную величину <r> — среднюю скорость неравномерного движения: Если проинтегрировать по времени в пределах от t до t+Δt выражение ds=vdt (см. формулу (2)), то найдем длину пути, пройденного точкой за время Δt: (3) В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; Toгда выражение (3) примет вид Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2, задается интегралом
УСКОРЕНИЕ При неравномерном движения частно необходимо знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, называется ускорение. Рассмотрим плоское движение - движение, при котором траектории каждой точки рассматриваемой системы лежат в одной плоскости. Пусть вектор v есть скорость точки А в момент времени t. За время Δt точка перешла в положение В и получила скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v1+Δv. Перенесем вектор v1 в точку А и найдем Δv (рис. 1). Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δv к интервалу времени Δt: Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент времени t будет векторная величина: равная первой производной скорости по времени. Разложим вектор Δv на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 1) по направлению скорости v отложим вектор AD, по модулю равный v1. Очевидно, что вектор CD, равный Δvτ, определяет изменение скорости за время Δt по модулю : Δvτ=v1-v. Вторая же составляющая Δvn вектора Δv характеризует изменение скорости за время Δt по направлению. Тангенциальная составляющая ускорения: т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Ищем вторую составляющую ускорения. Допускаем, что точка В сильно близка к точке А, поэтому Δs можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, слабо отличающейся от хорды АВ. Треугольников АОВ подобен треугольнику EAD, из чего следует Δvn/AB=v1/r, но так как AB=vΔt, то В пределе при Δt→0 получим v1→v. Рис.1 Т.к. v1→v, угол EAD стремится к нулю, а т.к. треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и Δvn стремится к прямому. Следовательно, при Δt→0 векторы Δvn и v становятся взаимно перпендикулярными. Т.к. вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Δvn, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру кривизны траектории точки. Вторая составляющая ускорения, равная называется нормальной составляющей ускорения и направлена по прямой перпендикулярной касательной к траектории (называемой нормалью) к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением). Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 2): Рис.2 Значит тангенциальная составляющая ускорения является характеристикой быстроты изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — характеристикой быстроты изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории). В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом: 1)aτ=0, an=0 — прямолинейное равномерное движение; 2)aτ=an=const, аn=0 - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения Если начальный момент времени t1 = 0, а начальная скорость v1 = v0, то, обозначив t2=t и v2 = v, получим a=(v-v0)/t, откуда Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения 3)aτ=f(t), an=0 — прямолинейное движение с переменным ускорением; 4)aτ=0, an=const. При aτ=0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы an=v2/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;равномерное криволинейное движение; 5)aτ=0, an≠0 равномерное криволинейное движение; 6)aτ=const, an≠0 - криволинейное равнопеременное движение; 7)aτ=f(t), an≠0 - криволинейное движение с переменным ускорением. №18 Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности Определение. Пусть на области D задана функция двух переменных z =f(х,у), M0(x0;y0) - внутренняя точка области D, M(x0+Δx;y+Δy) - "соседняя" с M0 точка из D. Рассмотрим полное приращение функции: Если Δz представлено в виде: где A, B - постоянные (не зависящие от Δx, Δy), - расстояние между M и M0, α(Δ x,Δy) - бесконечно малая при Δx 0, Δy 0; тогда функция z =f(х,у) называется дифференцируемой в точке M0, а выражение называется полным дифференциалом функции z =f(х;у) в точке M0. Теорема 1.1. Если z =f(х;у) дифференцируема в точке M0, то Доказательство Так как в (1.16) Δx, Δy - произвольные бесконечно малые, то можно взять Δy =0, Δx≠0, Δx 0, тогда после чего из (1.16) следует Тогда Аналогично доказывается, что и теорема 1.1. доказана. Замечание: из дифференцируемости z =f(х,у) в точке M0 следует существование частных производных. Обратное утверждение неверно (из существования частных производных в точке M0 не следует дифференцируемость в точке M0 ). В итоге, с учётом теоремы 1.1 формула (1.18) примет вид: Следствие. Функция, дифференцируемая в точке M0, непрерывна в этой точке (так как из (1.17) следует, что при Δx 0, Δy 0: Δz 0, z(M) z(M0)). Замечание: Аналогично для случая трех и более переменных. Выражение (1.17) примет вид: где Используя геометрический смысл (рис.1.3) частных производных и можно получить следующее уравнение (1.24) касательной плоскости πкасs к поверхности: z =f(х,у) в точке C0(x0,y0,z0), z0=z(M): Из сравнения (1.24) и (1.21) получаем геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных: - приращение аппликаты z при движении точки С по касательной плоскости из точки С0 в точку где находится из (1.24). Уравнение нормали Lн к поверхности: z =f(х,у) в точке С0 получается, как уравнение прямой, проходящей через С0 перпендикулярно к касательной плоскости: № 19 Производная по направлению. Градиент Пусть в некоторой области задана функция и точка . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. . Будем предполагать, что функция и ее частные производные первого порядка непрерывны в области . Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е. . Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора используют формулу: , где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам: . Пусть в каждой точке некоторой области задана функция . Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается или (читается «набла у»): . При этом говорят, что в области определено векторное поле градиентов. Для нахождения градиента функции в заданной точке используют формулу: . №22 основные свойства неопределенного интеграла Неопределенный интеграл где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная. Основные свойства 1. 2. 3. Если то 4. 24)
25) 28) Этот метод применяется в тех случаях, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение или частное разнородных ф-ций. При этом за V’(x) принимается та часть, которая легко интегрируется. 29) 32)Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого – четвертого типов. Для разложения на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Qm(x) на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение: - (5) Теорема. Правильную рациональную дробь , где , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей: - (6) (A1, A2, …, Ak, B1, B2, …, B1, M1, N1, M2, M2, …, Ms, Ns – некоторые действительные числа). 33) Разложение правильной дроби на простейшие дроби при комплексных корнях знаменателя Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл 1. Введем обозначения:
. Сравним степени числителя и знаменателя . Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя n больше или равна степени знаменателя m, то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:
Здесь многочлен – остаток от деления на причем степень Pk(x) меньше степени Qm 2. Разложим правильную рациональную дробь
на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые комплексные корни т.е.
, где
, то разложение имеет вид
. 3. Для вычисления неопределенных коэффициентов ,A1,A2,A3...B1,B1,B3... приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях X в числителях слева и справа. Получим систему 2S уравнений с 2S неизвестными, которая имеет единственное решение. 4Интегрируем элементарные дроби вида
47)Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом: , или
.
В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования. Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла ,
поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы. Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы различны
48)Теорема о существовании определённого интеграла Разобьем отрезок [a, b] на части точками x1,x2,x3... так что
Обозначим через deltaX длину i-го кусочка и через максимальную из этих длин.
Выберем на каждом отрезке произвольным образом некоторую точку так что (она называется «средней точкой»), и составим
величину, которая называется интегральной суммой Найдем теперь предел
.
Определение. Если существует и он не зависит от а) способа разбиения отрезка на части и от б) способа выбора средней точки,
есть определенный интеграл от функции f(x) по отрезку [a, b]. Функция f(x) называется в этом случае интегрируемой на отрезке [a, b]. Величины a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно. 50) Основные св-ва определённого интегрирала 1)Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.
2)теорема о среднем значении. Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b],m=min f(x) и M=max f(x) , тогда существует такое число
Что
Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое число , что .
3)При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный. 4)Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.
5)Интегрирование модуля функции Если функция f(x) интегрируема,то и её модуль интегрируем на отрезке.
\ 6)Интегрирование неравенства Если f(x) и q(x) интегрируемы на отрезке [a;b] и х принадлежит [a;b] то 7)Линейность Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла если f(x) существует и интегрируема на отрезке [a;b] , A=const
№51 Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на [a;b] (F’(x)=f(x)), то имеет место формула
№52 Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка x=α(t). Теорема: Если: 1) Функция x=α(t) и ее производная x’=α’(t) непрерывны при t принадлежащей [c;v] 2) Множеством значений функции x=α(t) при t принадлежащей [c;v] является отрезок [a;b] 3) A α(c)=a и α(v)=b То №55 Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;b] и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают . Таким образом, по определению, = . Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (860)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |