Разложение булевой функции по одной и нескольким переменным. Совершенная конъюктивная нормальная форма

Совершеннойконъюнктивной нормальной формой(СКНФ) формулы называется такая КНФ, для которой выполняются следующие условия:

1. Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ , различны.

2. Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ , содержат литеры, соответствующие всем переменным.

3. Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ , не содержит двух одинаковых литер.

4. Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ , не содержит переменную и ее отрицание.

СКНФ можно получить двумя способами:

1. по таблице истинности;

2. с помощью равносильных преобразований.

По первому способу по таблице истинности получаем СДНФ , а СКНФ можно получить, следуя следующему правилу

С помощью равносильных преобразований формулы получают КНФ . При этом в полученной КНФ возможны следующие ситуации:

1. Элементарная дизъюнкция КНФ не содержит переменную , тогда используются следующие равносильные преобразования:

2. Если в КНФ входят две одинаковые элементарные дизъюнкции, то используя следующее равносильное преобразование:

,

одну элементарную дизъюнкцию можно отбросить.

3. Если элементарная дизъюнкция КНФ содержит одновременно переменную и ее отрицание, то используя следующие равносильные преобразования:

,

эту элементарную дизъюнкцию можно отбросить.

4. Если элементарная дизъюнкция КНФ содержит дважды переменную , то используя следующее равносильное преобразование:

,

одну переменную можно отбросить.

СКНФ формулы существует в единственном виде.

ПРИМЕР

Получить СКНФ формулы

С помощью равносильных преобразований получаем СКНФ :

С помощью таблицы истинности получаем СДНФ :

СДНФ

Очевидно, что в результат двух способов совпадает.

СДНФ формулы можно получить из СКНФ , используя следующее правило:

Билет №7

Теорема Поста

Функциональный набор логических функций - это такой набор функций, который позволяет любую функцию математической логики описать с помощью функций данного набора.

Теорема Поста. Для того чтобы набор функций {f₁,f₂,……f_n} был функционально полный необходимо и достаточно, чтобы для всего набора функций в целом не выполнялись свойства сохранения нуля, сохранения единицы, линейности, монотонности и самодвойственности.

Полноту набора удобно определять по таблице Поста, в клетках которой ставится знак «+» или «-» в зависимости от того, обладает функция из этого набора тем или иным свойством. В силу теоремы Поста для полноты системы необходимо и достаточно, чтобы в каждом столбце был хотя бы один минус.

ПРИМЕР

Доказать, что набор функций6 дизъюнкция и отрицание является функционально полным.

	T0	T1	L	M	S
	-	-	+	-	+
V	+	+	-	+	-

Теорема Поста о полноте

Для того чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из классов T0, T1, L, S, M.

Доказательство. Докажем необходимость этого условия. Пусть система

N = {f1, f2, ...fs, ...} полна в Р2, покажем, что тогда она не лежит целиком в Q, где через Q обозначим любой из классов T0, T1, L, S, M. Докажем от противного, пусть N ??Q, очевидно, [N] ??[Q] = Q, но [N] = P2, т.к. N – полна в Р2, отсюда Р2=Q, но это не так. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть F = {f0, f1, fL, fm, fs}, где f0?T0, f1?T1, fL?L, fs?S и fm?M. Покажем, что суперпозицией функций системы F можно получить полную систему G = {x1&x2, }.

1. Пусть g(x) = f0(x, …, x). Тогда g(0) = f( 0, …, 0) = 1. Далее возможны два случая:

g(1) = 1. Тогда g(x) ? 1. Функция h(x) = f1(g(x), …, g(x)) = f1(1, …, 1) = 0, т.е. h(x) ? 0. Получили константы 0 и 1;

g(1) = 0. Тогда g(x) = . По лемме о несамодвойственной функции суперпозицией над {fs, } можно получить одну из констант, например, 0. Тогда f0(0, …, 0) = 1 есть другая константа.

В обоих случаях получили обе константы.

2. По лемме о немонотонной функции суперпозицией над {fm, 0, 1} можно получить отрицание.

3. По лемме о нелинейной функции суперпозицией над {fL, 1, } можно получить конъюнкцию. Теорема доказана.

Следствие. Всякий замкнутый класс функций из Р2, не совпадающий с Р2 содержится, по крайней мере, в одном из замкнутых классов T0, T1, L, S, M. Действительно, если N не является подмножеством Q, то [N] = P2, что неверно.

Билет №8