Формула умножения вероятностей
Теорема: Вероят-ть совместного появ-ния двух незав. соб-тий= произведению этих же соб-тий: Р(АВ)=Р(А)Р(В) Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место: . Доказательство: Предположим, что из возможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет , условная вероятность события относительно события будет . Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию , и событию одновременно, т.е. исходов. Поэтому вероятность произведения событий и . Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим: . Аналогично доказывается и формула . Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конечное число событий.
10. Формула полной вероятности: Пусть H1…Hn – полная группа событий и P(Hi)>0, i=1,n⁻⁻, тогда для любого события А Р(А)= ) Формула полной вероятности и формула Байеса. По теореме сложения вероятностей несовместных событий . Используя теорему умножения вероятностей, находим: . Полученная формула называется формулой полной вероятности.
11. На основании теоремы о вероятности произведения двух событий: , откуда: или . Полученная формула носит название формулы Байеса.
Формула Байеса: Пусть дана полная группа событий H1,…,Нn и некоторое событие А, тогда для любых К от 1 до n условная вероятность события Нк при условии, что произошло событие А вычислится по формуле Р(Нк/A)=
12. Схема Бернулли последовательных испытаний. Формула Бернулли и ее следствие. Наивероятнейшее число наступлений события. Схема Бернулли заключ. в след.: проводится n последовательных испытаний, которые 1)независимы; 2)в любом испытании возможны только 2 исхода (A и ); 3)вероятности этих исходов постоянны и не изменяются от испытания к испытанию. Под независимыми понимаются такие эксперименты, в которых любые события, возникающие в разных экспериментах, являются независимыми в совокупности. p = P(A) q = P( ) = 1 – p Наступление события A обычно называют успехом, а ненаступление – неудачей. Формула Бернулли. Вероятность того, что в схеме Бернулли из n испытаний успех наступит ровно m раз равна (m) = Следствие: Пусть m1 и m2 Z, n. Тогда вероятность того, что в схеме Бернулли успех наступит не менее m1 и не более m2 раз в n испытаниях равна
Определение: Число наступлений события A (успеха) называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события A любое другое количество раз. Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях схемы Бернулли заключено между числами и . При этом, если , то наивероятнейших чисел два, а именно и .
13. В случае, когда число испытаний велико, формулу Бернулли применять неудобно. Для больших существуют приближенные формулы. Точность этих формул увеличивается с возрастанием . Теорема Пуассона: Предположим, что произведение np = является постоянной величиной, когда n неограниченно возрастает, тогда для любого фиксированного m и постоянного На практике эта теорема применяется следующим образом. Если n велико, а p мало, , то Теорема Пуассона с оценкой погрешности: Пусть произвольное множество целых неотрицательных чисел от 0 до n, – число успехов n испытаний схемы Бернулли, тогда
Замечание: Если мало значение q1 то по Пуассоновским приближениям можно воспользоваться для числа неудач. 14. Если же n достаточно велико, а p не слишком близко к нулю или единице, то имеет место теорема Муавра-Лапласа: , где , а Функция называется ф-ей Гауса. Эта функция затабулирована – ф-ия Гауса чётная. При достаточно больших n вероятность того, что событие A в схеме Бернулли наступило не менее m1 и не более m2 раз в n испытаниях, при условии, что p не слишком близко к 0 или 1, вычисляется с помощью след. теоремы: Интегральная теорема Муавра-Лапласа:
где ,
Ф-ия (x) называется ф-ией Лапласа, она также затабулирована, она нечётная, т.е. Ф(-x) = Ф(x)
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (605)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |