ПРИЛОЖЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Задача 1. Определить вероятность надежного электроснабжения потребителя при последовательном (рисунок 1.1) и параллельном (рисунок 1.2) соединении элементов сети. Вероятность безотказной работы первого элемента p1=0,85, второго p2=0,9, третьего p3=0,95. Решение: Вероятность надежной работы схемы (рисунок 1.1) определяется по теореме умножения вероятностей. Потребитель будет надежно получать питание, когда работает и элемент 1, и элемент 2, и элемент 3. События «надежная работа» и «отказ» являются противоположными и образуют полную группу событий. Вероятность надежной работы схемы (рисунок 1.1) P = p1p2p3 = 0,85 x 0,9 x 0,95 = 0,725. Вероятность отказа схемы (рисунок 1) Q = 1- P = 1- 0,725 = 0,275. Вероятность отказа схемы (рисунок 1.2) определяется также по теореме умножения вероятностей. Схема (рисунок 1.2) откажет тогда, когда откажет и элемент 1, и элемент 2, и элемент 3. Вероятность отказа первого элемента
Рисунок 1.1- Вероятность отказа Рисунок 1.2- Вероятность отказа Q = q1q2q3 = (1-p)(1-p2)(1-p3) = (1-0,85)(1-0,9)(1-0,95) = 0,00075. Вероятность надёжной работы схемы (рисунок 2) P = 1-Q = 1-0,00075. Задача 2. К распределительному устройству подключено три потребителя с номинальной мощностью 20, 15 и 5 кВт. Вероятность включенного состояния потребителей равна Р1 = 0,6, Р2 = 0,7; Р3 = 0,5. Определить вероятность того, что нагрузка на распределительном устройстве составит 40 кВт. Решение. Так как включение потребителей есть независимые события, для решения используем формулу (1.8). Тогда: Р(40 кВт) = Р1Р2Р3 = 0,6×0,7×0,5 = 0,21. Задача 3.Партия транзисторов, среди которых 10% дефекта, поступает на проверку. Схема проверки такова: вероятность обнаружения ошибки 0,95, если она есть; 0,03 – если ее нет. Найти вероятность того, что исправленный транзистор будет признан дефектным. Эксперимент: наудачу выбирается транзистор. Решение: А = { транзистор будет признан дефектным} Гипотеза: Н1 = {транзистор на самом деле дефектный} Р(Н1)=0,1 Н2 = {транзистор на самом деле недефектный} Р(Н2)=1-0,1=0,9 Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н2)+Р(Н2)Р(А/Н2)=0,1⋅0,95+0,9⋅0,03=0,095+0,027=0,122 Задача 4.В распределительном пункте (РП) установлено пять автоматических выключателей. Нормальная работа потребителей обеспечивается при их исправном состоянии. При монтаже РП выключатели выбирались из партии объемом в 1000 штук, в которой было 950 исправных выключателей и 50 не исправных. Найти вероятность исправной работы РП. Задача 5. Две цепи электроснабжения работают параллельно на общую нагрузку (рис. 1.3). Вероятность аварийного простоя одной цепи , второй . Принимая аварийные состояния цепей независимыми, определить вероятность аварийного простоя двухцепной электропередачи для двух случаев: а) отказ электропередачи происходит при отказе одной из цепей (любой); б) отказ электропередачи происходит при отказе только обеих цепей. Рис. 1.2. Схема питания Решение. а) На основании теоремы сложения вероятностей (логическая схема «или») . б) На основании теоремы умножения вероятностей (логическая схема «и») Дополнение. Вероятность безаварийной работы: Задача 6. Питание потребителя осуществляется по одной цепи, состоящей из кабельной линии, трансформатора, выключателя (рис. 1.4.). Вероятность безотказной работы за время t для этих элементов: . Отказ любого элемента приводит к перерыву питания, причем отказы взаимно независимы. Найти вероятность безотказной работы передачи.
Рис. 1.3. Схема питания Решение. Обозначим: – безотказная работа линии, – трансформатора, – выключателя, А – всей системы. По теореме умножения для независимых событий
Дополнение, Вероятность отказа этой системы: Задача 7. Силовые трансформаторы изготавливаются тремя заводами, причем вероятность того, что трансформатор выпущен на первом заводе равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,5. Вероятности того, что при определённых условиях работы трансформатор сохранит работоспособность в течение 25 лет, для первого, второго и третьего заводов соответственно равны: 0,9; 0,92; 0,808. Чему равна вероятность того, что поступивший для монтажа трансформатор сохранит работоспособность в течение 25 лет? Решение. Этот трансформатор может оказаться с первого завода (событие ), со второго ( ), с третьего Интересующее нас событие А имеет вероятность Задача 8. Энергосистема ограничивает промышленное предприятие в потреблении электрической мощности. При этом в течение года возможны дефициты в 5, 10 и 15 МВт с вероятностями соответственно 0,001, 0,0004 и 0,0002. Определить математическое ожидание недоотпуска электроэнергии промышленному предприятию за год. Решение. . В году 8760 часов.
Задача 9.
Задача 10.
Задача 11.
Задача 12.
Задача 13.
Задача 1 В цепь переменного тока напряжением U = 300 В, и частотой 50 Гц включена последовательно катушка с индуктивным сопротивлением Решение
1. Реактивное сопротивление конденсатора Ом. 2. Комплексное сопротивление катушки Zк = R + jXL = zке jφ = 30 + j40= 50e j53 Ом, где zк — модуль комплексного сопротивления катушки, а j — аргумент, равный . 3. Комплексное сопротивление всей цепи Z = R + jXL – jXС = 30 + j40 – j8 = 30 + j32 = 44e j47 Ом, где модуль комплексного сопротивления цепи , а . 4. Ток цепи, определяемый по закону. Ома =6,8e-j47 А, φ=470. 5. Напряжения на участках цепи
Uк=I×Zк=6.8e-j47×50ej53=340ej6 В, φк =60; UC=I×XCe-j90=6.8e-j47×8e-j90=54.4e-j137 B, φс=1370.
6. Мощности цепи: реактивные: на катушке QL=I2×XL=6.82×40=1850 ВАр; на конденсаторе QC=I2×XC=6.82×8=370 ВАp; активная мощность выделяется только на активном сопротивлении катушки R P=I2×R=6,82×30=1387 Вт; полная мощность цепи (кажущаяся)
или В·А.
Задача 2 В сеть переменного тока напряжением U = 250 В включена цепь, состоящая из двух параллельных ветвей с сопротивлениями R1 = 25 Ом, R2 = 10 Ом и XL = 7 Ом. Определить показания измерительных приборов, полную и реактивную мощности цепи, Решение 1. Комплексное сопротивление второй ветви Z2 = R2 + jXL = 10 + j7 = 12,2e j35 Ом. 2. Комплексное сопротивление всей цепи Z = Ом. 3. Общий ток цепи I = А, φ = - 240. Ток первичной ветви I1 = А, φ1 = 00. Ток вторичной ветви I2 = А, φ2 = - 350 . Амперметр в общей ветви покажет 28 А, в первой ветви показания равны 10 А, а во второй — 21 А. 4. Ваттметр покажет суммарную активную мощность цепи P = P1 + P2, где P1 = I12×R1 = 102×25 = 2500 Вт, P2 = I22×R2 = 212×10 = 4410 Вт, P = 6910 Вт — показания ваттметра. Реактивная мощность определяется только величиной XL и равна QL = I22 × XL = 212 × 7 = 3087 ваp. Полная мощность цепи: В·А. Задача 3 В трёхфазную четырехпроводную цепь с симметричным линейным напряжением UЛ = 220 В включены звездой сопротивлением RA = 6 Ом, RB = 7 Ом, RC = 9 Ом, XA = 7 Ом, XB = 6 Ом, XC = 11 Ом. Определить фазные и линейные токи, ток нейтрального провода, мощности всей цепи и каждой фазы в отдельности. Решение 1.Комплексные сопротивления фаз: ZA=RA-jXA=6–j7=9e–j49 Ом; ZB=RB+jXB=7+j6=9e j41 Ом; ZC=RC+jXC=9+j11=14e j51 Ом. 2.Фазные напряжения: UФ= В, UA=127 B; UB=127e–j120 B; UC=127e j120 B.
3.Фазные токи ( в “звезде” они же линейные). IA= А, IB= А, IC = А.
4.Мощности фаз и всей цепи: PA=I2A×RA=142×6=1176 Вт, PB=I2B×RB=142×7=1372 Вт, PC=I2C×RC=92×9=729 Вт, QA1=I2A×XA=142×7=1372 ВАp, QBl=I2B×XB=142×6=1176 ВАp, QCl=I2C×XC=92×11=891 ВАp. Активная мощность всей цепи P=PA+PB+PC=3277 Вт. Реактивная мощность Q = –QA+QB+QC=695ВАр. Полная мощность цепи S S= В·А. Кажущаяся мощность фаз SA1= В·А — активно-емкостного характера; SBl= В·А — активно-индуктивного характера; SCl= В·А — активно-индуктивного характера.
Задача 4 В трехфазную трехпроводную цепь с симметричным линейным напряжением UЛ=120 В включены треугольником активные сопротивления RAB=5 Ом, RBC=9 Ом и RCA=12 Ом. Определить фазные токи, активную мощность всей цепи и каждой фазы в отдельности. Решение 1. Определим токи фаз, которые включены треугольником на линейные напряжения: IAB= А, IBC= А, ICA= А.
2. Мощность всей цепи и в каждой фазе — чисто активная. PAB=I2AB×RAB=242×5=2880 Вт, PBC=I2BC×RBC=13.32×9=1599,2 Вт, PCA=I2CA×RCA=102×12=1200 Вт, S=P=PAB+PBC+PCA=5679,2 Вт.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (831)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |