Логарифмическая функция
Логарифмическая функция Lnz, при z 0 определяется как обратная к показательной функции, причем 6. Общая степенная функция: , a C. Эта функция многозначная, её главное значение равно . При a=1/n, n N получаем многозначную функцию – корень n-й степени из z: 7. Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим, являются многозначными и выражаются через логарифмическую. a) б) Вопрос 6 Интеграл ФКП определение и свойства интеграла ФКП
Пусть ФКП определена в точках несамопересекающейся дуги , расположенной в –плоскости. Дуга ориентирована от точки к точке , причем точка соответствует , точка . Рассмотрим произвольное разбиение дуги системой точек такое, что , и упорядочены по длине дуги от точки до конечной точки разбиения . Выберем на дуге произвольную систему точек так, чтобы точка лежала на дуге между точками и (см. рисунок). Сумма , где , называется интегральной суммой функции по дуге , соответствующей разбиению и выбору точек системы , ее значение зависит от разбиения и выбора точек . Обозначим – диаметр разбиения. Интегралом ФКП по дуге называется число (вообще говоря, комплексное число), обозначаемое и равное пределу интегральной суммы функции при , независимое от разбиения и выбора точек системы , т.е. . (1) Доказано (см. [2]), что для непрерывной на дуге ФКП и кусочно-гладкой дуги интеграл (1) существует. Впредь будем предполагать эти условия выполненными. Теорема Коши для односвязной области.Если D - односвязная ограниченная область, w = f( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f(z) по L равен нулю: .
Вопрос 8 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами операции (или преобразования). Теория операторов. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. по теореме Тейлора). В исчислении, пространство D ограничено областью определения функций f (x), тождественно равных нулю при отрицательных x. Главную роль играет функция 1(x), равная 0 при отрицательных x и 1 при неотрицательных x. Приведем некоторые "правила" исчисления Хевисайда: Если n! заменить гамма-функцией Г(n + 1), то первое из правил останется в силе и при нецелых n.Основным результатом операционного исчисления принято считать теорему о композиции, или свертке, согласно которой, если F1(p)1(x) = f1(x) и F2(p)1(x) = f2(x), то Применяя теорему о свертке к pa при a № 0, -1, -2,..., можно определить интегрирование или дифференцирование дробного порядка. Например, рассмотрим выражение Изображением по Лапласу функции-оригинала f (t) (или преобразованием Лапласафункции f (t)) называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством Вопрос 10 Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события). Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий. К понятию «вероятность» существует несколько подходов. Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств. Такой подход называется теоретико-множественным. Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта; каждый его элемент будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω: . Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте. Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может. Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно. Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно. Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе. Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит. События Ak (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие. Иногда недостаток конечного числа возможных исходов испытания можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности. Рассмотрим некоторую замкнутую область G в пространстве (рис.5.1). Обозначим через ее меру. Если область – одномерная (отрезок), то мерой будет ее длина, если область двумерная (некоторая плоская фигура), то ее мера - площадь, если трехмерная (тело в пространстве), то – объем. Пусть область D полностью содержится в области G. Мера области D - . Рассмотрим следующий эксперимент: случайно из области G выбирается точка А. Необходимо определить вероятность попадания точки А в подобласть D. Роль элементарных событий в данном эксперименте играют точки области G. Все множество точек области Gобразует пространство элементарных событий. Все элементарные события – равновозможны, так как все точки области G равноправны в отношении попадания туда случайной точки A. Но число этих элементарных событий бесконечно. Поэтому в данном случае классическое определение вероятности не применимо. Согласно геометрическому определению, вероятность случайного события А равна отношению меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е. . Итак, статистическая вероятность случайного события А равна относительной частоте появления этого события в ряде испытаний, т.е. , где m – число испытаний, в которых появилось событие А; n – общее число испытаний. Это и есть статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности По классическому определению вероятность случайного события Р(А) равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов, составляющих пространство элементарных событий, т.е.
Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчету элементов того или иного множества и часто оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма трудной. Классическое определение оправдано, когда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых происходит эксперимент, и вследствие этого симметрии исходов испытания, что приводит к понятию "равновозможности" исходов. Вопрос 12 Формула полной вероятности и формула Байеса Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле .Эта формула называется формулой полной вероятности. Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез . По теореме умножения вероятностей , откуда . Аналогично, для остальных гипотез Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как -априорными вероятностями. Вопрос 14Основные определения. Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента – случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. Случайная величинаявляется одним из центральных понятий теории вероятностей. Пусть - произвольное вероятностное пространство. Случайной величинойназывается действительная числовая функция x =x (w ), w W , такая, что при любом действительном x . Событие принято записывать в виде x < x. В дальнейшем случайные величины будем обозначать строчными греческими буквами x , h , z , … Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M={1, 2, 3, 4, 5, 6} ; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой=[100, 3000]). Функция распределения случайной величины. Её свойства Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. Если x .- случайная величина, то функция F(x) = Fx (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x. Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением. Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
Функция распределения дискретной случайной величины Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида
называется распределением дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины Если функция распределения Fx (x) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной. Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины px (x), которая связана с функцией распределения Fx (x) формулами и . Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .
Вопрос 16 Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание случайной величины Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx . Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение
называется величина , если число значений случайной величины конечно. Если число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания. Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px(x) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания. Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то . Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины: , . Основные свойства математического ожидания:
Дисперсия случайной величины Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания. Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2. Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам , . Для определения меры разброса значений случайной величины часто используетсясреднеквадратичное отклонение ,связанное с дисперсией соотношением . Основные свойства дисперсии:
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (374)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |