Понятие функции комплексного переменного

Понятие функции комплексного переменного является частным случаем общего математического понятия функции.

Определение. Если А – некоторое множество комплексных чисел z (геометрически – множество точек комплексной плоскости), и каждому числу z А поставлено в соответствие по некоторому закону число w В (где В – также множество комплексных чисел), то говорят, что на множестве А определена функция комплексного переменного z (или отображение множества А в В ).

Записывают: w = f (z).

Множество А называют областью определения функции, В – множество, состоящее из значений, принимаемых функцией, называют областью значений функции.

Принято множества А и В, изображать на отдельных комплексных плоскостях (см. рис. 5): плоскость z комплексных чисел z = х + i у и плоскость w комплексных чисел w = u + i v .

При этом точка w₀ = f (z₀) называется образом точки z₀, а z₀– прообразом точки w₀.

В частности, если А расположено на действительной оси ох, то z = х является действительным переменным. Если же все значения w также действительны, то приходим к понятию функции действительного переменного как частному случаю функции комплексного переменного.

В общем случае z = х + i у, w = u (х, у) + i v (х, у).

Геометрически функцию f (z ) можно рассматривать как отображение множества А на множество В, переводящее точку (х, у) множества А в точку ( u, v ) множества В. Высказывание “ функция w = f (z) определена на множестве А”эквивалентно следующему: “ каждой точке (х, у) из А поставлены в соответствие действительные числа u и v ” . Иными словами, на множестве А определены две действительные функции

и двух действительных переменных х и у. Итак, задание функции комплексного переменного w = f (z) равносильно заданию двух функций двух действительных переменных и .

Например, соотношение w = z² = (x +iy)² = x² – y² + i2xy эквивалентно следующим: u = x² – y², v = 2xy.

Пример 1. Дана функция f (z) = z³ + i . Найти мнимую и действительную части этой функции.

Решение. f (z) = (х + i у)³ + i = x³ + 3x²iy + 3x(iy)² + (iy)³ + i = x³ – 3xy² + i (3x²y – y³ + 1).

Откуда u(x,y) = x³ – 3xy² , v(x,y) = 3x²y – y³ + 1.

Замечание.

.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Следующие функции (как однозначные, так и многозначные) называют основными элементарными функциями:

Дробно-рациональная функция

2. Показательная функция:

Наряду с введенным обозначением для показательной функции используют обозначение exp z.

Показательная функция комплексного переменного является периодической функцией с основным периодом 2pi, т. е.

.

3. Тригонометрические функции:

4. Гиперболические функции: