Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье. Учитывая, что , (6.4.1) а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (6.4.1) получаем: (6.4.2) Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так: , где a(u) определяется равенством (6.4.2). Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) : (6.4.3) и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид: , где b(u) определяется равенством (6.4.3).
Комплексная форма интеграла Фурье , (6.4.4) где . Выражение в форме (6.4.4) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x). Если в формуле (6.4.4) заменить c(u) его выражением, то получим: , где правая часть формулы называется двойным интегралом Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье Обратное преобразование Фурье: где n=1,2,... , k=1,2,... Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор при этом, . Раздел 7. Представление функции интегралом Фурье Тема 7.1. Проверка условий представимости
Данную ранее функцию (6.4.2) доопределим на всей прямой от до как равную нулю (рис.7.1.1).
Рис.7.1.1
а) f(x)-определенна на R; б) f(x) возрастает на ; в) f(x) убывает на - кусочнo-монотонна; г) f(x) = const на и .
< .
Представление функции интегралом Фурье
В соответствии с теорией найдем a(u) и b(u):
;
.
И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:
Интеграл Фурье в комплексной форме
Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:
,
,
а теперь получим интеграл в комплексной форме:
.
Тема 7.2. Представление функции полиномом Лежандра
Основные сведения
Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:
Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, ... :
. . . . . . . . . .
Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:
, где и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1.
Преобразование функции
Наша первоначальная функция f(x) имеет вид (см. рис.7.1), а т. к. она расположена на промежутке от 0 до необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1. Замена: и тогда F(t) примет вид
или
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (839)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |