Непрерывное вероятностное пространство

Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). Так несчётное множество исходов имеет эксперимент, состоящий в случайном бросании точки на отрезок [a₁; a₂]. Можно себе представить, что эксперимент, заключающийся в измерении температуры в заданный момент в заданной точке тоже имеет несчётное число исходов (действительно, температура может принять любое значение из некоторого промежутка, хотя в действительности мы можем измерять её лишь с определённой точностью, и практическая реализация такого эксперимента даст конечное число исходов). В случае эксперимента с несч ётным множеством элементарных исходов нельзя считать любое подмножество множества событием. Следует заметить, что подмножества , не являющиеся событиями, являются математическими абстракциями и не встречаются в практических задачах. Поэтому в нашем курсе данный параграф является необязательным.

Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств пространства элементарных исходов .

В случае выполнения двух условий:

1) из принадлежности А этой системе следует принадлежность этой системе;

2) из принадлежности и этой системе следует принадлежность A_i A_j этой системе

такая система подмножеств называется алгеброй.

Пусть — некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системы подмножеств:

1) , ; 2) , А, , (здесь А— подмножество W) являются алгебрами.

Пусть A₁ и A₂ принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A₁ \ A₂ и принадлежат этой алгебре.

Назовём s-алгебройсистему Á подмножеств множества , удовлетво­ряющую условию 1) и условию 2)¢:

2) если подмножества А₁, А₂,¼, А_n, ¼принадлежат Á, то их счётное объединение (по аналогии с суммированием это счётное объединение кратко записывается формулой ) тоже принадлежит Á.

Подмножество А множества элементарных исходов является событием, если оно принадлежит некоторой s-алгебре.

Можно доказать, что если выбрать любую счётную систему событий, принадлежащих некоторой s-алгебре и проводить с этими событиями любые принятые в теории множеств операции (объединение, пересечение, взятие разности и дополнения), то результатом будет множество или событие, принадлежащее той же s-алгебре.

Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.

Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы числоP(А), называемое вероятностью событияА, причем функцияP(А) обладает следующими свойствами:

1)Р()=1

2) если событияA₁, A₂,..., A_n, ¼ несовместны, то

=

Если задано пространство элементарных исходов , алгебра событий и определенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, то говорят, что задано вероятностное пространство.

Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай конечного пространства элементарных исходов . Тогда в качестве алгебры можно взять систему всех подмножеств множества .