Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что

1. a_n+1 < a_n для всех n;

2. .

Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Простейшие свойства числовых рядов.

1. Линейность.

Если ряды и сходятся (и их суммы соответственно равны и ), то линейная комбинация тоже сходится (к сумме ).

Это свойство вытекает из линейности предела:

2. На сходимость ряда не влияет изменение первых членов ряда:

и сходятся или расходятся одновременно, если при (конечно, суммы, в которые сходятся ряды разные).

Дело в том, что частичные суммы при этих рядов отличаются на постоянную величину: (при ). Следовательно, если имеет предел, то и имеет его (и наоборот).

Рассмотрим ещё два интересных частных случая числовых рядов - этознакопеременные и знакочередующиеся ряды.

Определение 3. Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид:

(или ), где .

Ряды, не являющиеся знакопостоянными ( или ) называютсязнакопеременными.

Например, - знакочередующийся ряд, - знакопеременный ряд.

Признак Даламбера и оба признака Коши в случае знакопеременных и знакочередующихся рядов не работают!

Определение 4. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится.

Определение 5. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся.

Теорема 8: Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Теорема9: Признак Лейбница.

Пусть монотонно невозрастает и . Тогда ряд сходится.

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

§ Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.

§ Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть и — два степенных ряда с радиусами сходимости и . Тогда

Если у ряда свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

Признак Д’Аламбера: Если при и выполнено неравенство

тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .

Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности , кроме, быть может, точки .

Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки 0 и .

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

·

·

·

·

·