Теоремы умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)n

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

.

Формула апостериорной вероятности Байеса.

Пусть — полная группа событий, и — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:

Повторение испытаний.

Формула Бернулли

где - вероятность появления события A ровно k раз при n независимых испытаниях; p - вероятность появления события A при каждом испытании.

Вероятность того, что при этом событие A:

1) наступит n раз: ;

2) не наступит ни разу: ;

3) наступит хотя бы один раз: ;

4) наступит не более k раз: ;

5) наступит не менее k раз: .

ле:

Теорема Лапласа

Пусть A – квадратная матрица n-го порядка.
Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, расположенных на пересечении строк с номерами i₁ , i₂ , ..., i_k и столбцов с номерами j₁ , j₂ , ..., j_k , называется минором M k-го порядка матрицы A.

Если из матрицы A вычеркнуть строки и столбцы с такими номерами, то определитель n–k-го порядка полученной матрицы называется дополнительным минором для минора M.

Обозначим символом S сумму индексов, нумерующих строки и столбцы такого минора:

S = i₁ + j₁ + i₂ + j₂ + ... + i_k + j_k .

Алгебраическим дополнением минора M называется дополнительный минор для минора M, умноженный на (–1)^S.

Отметим, что алгебраическое дополнение A_{i j} элемента a_{i j} (минора первого порядка) является частным случаем алгебраического дополнения минора.

Теорема Лапласа. Пусть D – определитель n-го порядка, в котором произвольно выбраны k строк (или столбцов), где 1 ≤k ≤ n – 1.
Тогда определитель D равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.