Пример выполнения контрольной работы

Введение

 

Настоящие методические указания содержат материал по изучению следующих разделов математики: «Линейная алгебра», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Предел и непрерывность функции».

После изучения тем студенту рекомендуется выполнить контрольную работу и выслать ее для проверки.

Контрольную работу выполняют в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать номер, название дисциплины, указать свою группу, фамилию, инициалы и номер зачетной книжки.

Номер варианта соответствует последней цифре зачетной книжки. Если последняя цифра зачетной книжки – 0, номер варианта равен 10.

Решение задач необходимо проводить в последовательности, указанной в контрольной работе. При этом условие каждой задачи полностью переписывают перед ее решением. В тетради обязательно оставляют поля.

Решение каждой задачи следует излагать подробно, давать необходимые пояснения по ходу решения со ссылкой на используемые формулы, вычисления проводить в строгом порядке. Решение каждой задачи доводить до ответа, требуемого условием. В конце контрольной работы указать использованную при выполнении контрольной работы литературу.

Теоретические вопросы к экзамену

 

1 Определители второго и третьего порядков, их свойства.

2 Системы линейных алгебраических уравнений, основные понятия. Правило Крамера.

3 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

4 Матрицы, основные понятия. Действия над матрицами.

5 Обратная матрица, нахождение ее.

6 Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений и ее решения.

7 Понятие о ранге матрицы. Нахождение ранга. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.

8 Векторы, основные понятия. Линейные операции над векторами.

9 Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость (независимость) системы векторов. Понятие о базисе на плоскости и в пространстве.

10 Скалярное произведение двух векторов, его свойства, выражение в координатной форме, приложения.

11 Векторное произведение двух векторов, его свойства, выражение в координатной форме, приложения.

12 Смешанное произведение трех векторов, его свойства, геометрическое истолкование, выражение в координатной форме, приложения.

13 Полярная система координат. Связь между декартовыми и полярными координатами точки.

14 Прямая на плоскости, различные виды уравнения прямой. Взаимное расположение двух прямых.

15 Плоскость, различные виды уравнения плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей.

16 Прямая в пространстве, различные виды уравнений прямой. Взаимное расположение двух прямых.

17 Эллипс, вывод канонического уравнения. Исследование формы эллипса.

18 Гипербола, вывод канонического уравнения. Исследование формы гиперболы, асимптоты гиперболы.

19 Парабола, вывод канонического уравнения. Исследование формы параболы.

20 Пространство . Преобразования пространства. Линейное преобразование, линейный оператор.

21 Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.

22 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей.

23 Канонические уравнения алгебраических поверхностей 2-го порядка. Метод сечений при исследовании формы поверхностей.

24 Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

25 Односторонние пределы. Предел функции в точке.

26 Предел функции на бесконечности.

27 Бесконечно малые функции, их свойства.

28 Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

29 Свойства пределов (предел суммы, произведения и частного).

30 Признаки существования предела. Первый замечательный предел.

31 Второй замечательный предел. Число е. Натуральные логарифмы.

32 Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение.

33 Непрерывность функции в точке, различные определения. Непрерывность основных элементарных функций.

34 Непрерывность суммы, произведения и частного. Непрерывность сложной функции.

35 Точки разрыва функции, их классификация.

36 Свойства функций непрерывных на отрезке (ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточных значений).

 

Пример выполнения контрольной работы

Задача 1.Дана система линейных алгебраических уравнений: Требуется:

1 решить СЛАУ по формулам Крамера;

2 записать СЛАУ в матричной форме и решить ее матричным способом, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя определение ее.

Решение.1) По формулам Крамера где

Находим решение системы

 

2) Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где

, , .

Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид , где - матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле

, где , - алгебраическое дополнение к элементу .

Обратная матрица имеет вид: .

Проверим правильность нахождения обратной матрицы:

Находим решение системы.

Итак, решение системы: .

 

Задача 2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

 

Решение.ЗапишемСЛАУ в матричной форме AX=B, где

, , .

При помощи элементарных преобразований приведем расширенную матрицу СЛАУ к трапециевидной форме.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы

.

Умножим первую строку на -3 и прибавим ко второй строке. Умножим первую строку на -4 и прибавим к третьей строке

.

Сложим вторую и третью строки

.

Полученная матрица является трапециевидной, содержит две ненулевые строки, поэтому .

Так как ранг матриц меньше числа неизвестных, то СЛАУ имеет бесконечное множество решений.

,то этот минор является базисным.

Переменные и возьмем в качестве базисных, а переменная будет свободной. Выразим переменные и через .

По последней матрице запишем систему уравнений, эквивалентную данной

Следовательно, ,

.

Итак, решения СЛАУ: ; она совместная и неопределенная.

 

Задача 3. Даны векторы . Доказать, что векторы и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

 

Решение.Если два вектора не коллинеарны ( ), то они образуют базис на плоскости.

Так как , то векторы и не коллинеарны и, значит, образуют базис. Пусть в этом базисе вектор имеет координаты , тогда разложение вектора по векторам и имеет вид: или в координатной форме:

Решим полученную систему уравнений по формулам Крамера.

Значит

Итак, в базисе , вектор имеет координаты

 

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды Найти:

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) уравнение плоскости ;

4) угол между ребром и гранью ;

5) площадь грани ;

6) объем пирамиды;

7) уравнение прямой ;

8) уравнение высоты , опущенной из вершины на плоскость ;

9) длину высоты, опущенной на грань .

Решение.

1) Расстояние между двумя точками и вычисляют по формуле:

2) Угол φ между векторами и находят по формуле:

Найдем координаты векторов и :

Тогда

3) Составим уравнение плоскости по формуле:

, где

- точки данной плоскости.

В нашем случае для плоскости имеем:

- уравнение плоскости .

4) Угол α между прямой и плоскостью находят по формуле:

, где - нормальный вектор плоскости.

Из уравнения плоскости .

5)

6) , где - смешанное произведение векторов .

7) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеют вид:

В нашем случае . Тогда - канонические уравнения прямой .

8) Направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости . Тогда - уравнения прямой .

9) Длину высоты, опущенной на грань , можно вычислить как расстояние от точки до плоскости . Для этого воспользуемся формулой

, где - уравнение данной плоскости, - координаты данной точки.

В нашем случае - уравнение плоскости (см. пункт 3) и

Итак,

 

Задача 5. Упростить уравнение линии второго порядка , определить вид линии, построить ее.

 

Решение.Выделим полные квадраты по х и по у, получим: ,

,

, (см. ),

т.е. имеем эллипс, центр которого лежит в точке С(5;-1), большая полуось а=4, малая полуось b=3.

Строим линию

 

 

Задача 6. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Решение.а)

б)

в)

г)

д)

 

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее график:

 

Решение.Область определения функции – вся числовая прямая. На интервалах (-¥, 0),

(0, 2), (2, +¥) функция непрерывна, так как задана на них элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках и , переходя через них изменяется аналитическое задание функции.

Рассмотрим точку , Найдем односторонние пределы в точке .

точка разрыва первого рода ( конечные).

Рассмотрим точку , .

в точке функция непрерывна.(см. определение непрерывности функции в точке )

Строим график данной функции:

 

 

Задача 8. Дано комплексное число . Требуется:

1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) найти корни уравнения w³-z=0.

.

Решение.1) .

Итак, - алгебраическая форма комплексного числа ( ).

Тригонометрическая форма имеет вид:

, где , угол φ определяют из системы

Находим

Значит .

Итак, - тригонометрическая форма комплексного числа.

Показательная форма имеет вид: .

Тогда - показательная форма комплексного числа.

2) Надо решить уравнение w³-z=0, откуда .

.

Воспользуемся формулой , где .

, k=0, 1, 2.

k=0: ;

k=1: ;

k=2:

 

 

Список литературы

 

1 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов.- М.: Наука, 1985., т.1.

2 Жевняк Р.М. Высшая математика. / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук.- Мн.: Выш.шк.,1986., ч.1.

3 Гусак А.А. Высшая математика (том 1). – Мн.: Тетра-Системс,1998.

4 Руководство к решению задач по высшей математике./ Под ред. Е.И. Гурского – Мн.: Вышэйшая школа, 1989. – Ч.1.

5 Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах (часть 1)./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – Мн.: Высш. шк., 1986.

6 Сборник задач по курсу высшей математики. / Под ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высш. шк., 1973.

7 Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1968.