Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Перестановки. Перестановками наз. комбинации из n элементов, отличающихся друг от друга лишь местоположением элементов. n=2 - ab,ba; n=3 – abc, acb, bac, bca, cba, cab. Pn=n! Сочетания. Сочетания из n элементов по m элементов наз. комбинации, отличающихся друг от друга лишь составом элементов. Пример: Из 12 разведчиков в разведку надо отправить 3. Размещения. Размещениями наз. комбинации из n элементов по m элементов, отличающиеся друг от друга не только составом элементов, но и их месторасположением. Пример. На разведку минного поля из 12 разведчиков надо послать 3.
2. Условная вероятность. Независимое событие. Формула умножения вероятности.
Условная вероятность. условная вероятность(вероятность события А при условии, что произошло событие В). ; Пусть произведению событий А и В благоприятствуют m исходов, событию В – k исходов. Общее число возможных и равновозможных исходов = n. ; ; . Независимые события. Событие А и В наз. независимыми, если P(AB)=P(A)P(B); События наз. попарно независимыми, если для любой пары P(Ai,Aj)=P(Ai)P(Aj), . События наз. A1,A2…An независимыми в совокупности, если P(A1,A2….An)=P(A1)P(A2)..P(An); Вероятность наступления хотя бы одного события. Пусть события А1,А2..Аn независимы в совокупности, тогда ж Если вероятность события обозначить , то вер-ть противоположного события обозн. . P(A)=1-q1q2..qn. Когда А1…Аn равновероятны, то .
3. Ф-ла полной вероятности. Формула Байеса. Пусть события Н1, Н2, … ,Нn, во-первых, попарно не совместны. , и во-вторых, они образуют полную группу событий. , тогда Н1, Н2, … ,Нn наз. гипотезами. Пусть некоторое событие А может наступить одновременно с какой-то из гипотез Н1, Н2, … ,Нn. Поэтому А=АН1+АН2+…+АНn. P(A)=P(H1A+H2A+…+HnA)=P(H1A)+ P(H2A)+…+ P(HnA)= P(H1)P(A/H1)+ P(H2)P(A/H2)+… P(Hn)P(A/Hn). . (1) Формула Байеса. Событие А свершилось. В ф-ле (1) считается вероятность до опыта (априорная), в ф-ле Байеса происходит пересчет гипотезы после опыта (апосториорная). .
4.Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Формула Пуассона. Пусть проводится серия из n одинаковых испытаний, в каждом из кот. событие А может произойти с одной и той же вероятностью р (в-ть успеха) и не произойти с одной и той же вероятностью q (в-ть неудачи) q=1-p. Наступление либо не наступление события А в n-ом испытании не зависит от исхода предыдущих испытаний. Pn(m) из n испытаний событие произойдет ровно n раз. — формула Бернулли. Pn(0)+Pn(1)+ Pn(2)+…+ Pn(m)+…+ Pn(n)=(q+p)n=1. При помощи этой формулы событие произойдет больше m раз: Pn(m+1)+ Pn(m+2)+…+ Pn(n). Формула Бернулли применяется, когда n — невелико (не больше 10). Если n>10, то на практике применяют: локально-интегральную теорему Муавра-Лапласа, а также формулу Пуассона. Формула Пуассона n- велико, порядка сотен и тысяч. p- мало, порядка сотых и тысячных. , где ; .
5.Наивероятнейшее число наступления события. Вероятность можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента m. Существует такое значение аргумента , при котором эта функция принимает наибольшее значение np-mp>mq+q m(q+p)<np-q, где q+p=1 m<np-q Вывод при таких m при таких m функция возростает. И наоборот при m>np-q , то есть при таких m функция убывает, то есть действителен один при котором функция достигает max значения По смыслу должны выполняться два неравенства Распишем 2-е неравенство 6. Локальная теорема и интегральная теорема Муавра-Лапласа. Локальная теорема. Применяется, когда 0<P<1 или не слишком близко к 0 или 1.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. , i=1,2,3,… - функция Лапласа (интеграл ошибок, интеграл вероятностей) Р(1-ого сорта)=0.75 q=0.25 а) 225 штук б) от 210 до 240 а)
б) ; ;
7. СВ. Функции распределения и их свойства. СВ наз. величины к-рые могут принимать те или иные значения заранее до опыта неизвестно какие именно. Различают дискретные и непрерывные СВ. Дискретные СВ. Значения обознач х1,х2,…,хn,… Всякое описание значений, к-рые может принимать СВ и соответствующие этим значениям вероятности наз. законом распределения СВ. Для дискретной СВ:
; Пример: Вер. Того что в библиотеке нужная ему книга свободна равна 0,3. В городе 4 библиотеки. СВХ – это число библиотек к-рое посетит студент. Составить з-н распределения СВ.
Ф-ция распределения СВ. Ф-цией распределения или интегральной ф-цией наз. F(X)=P(X<x). Вер.того вер.Х меньше чем х:
Свойства: 1. 2.F(X)-функция неубывающая
X1 X2 X Рассмотрим событие ;
; -большему значению аргумента соответствует большее значение функции. 3. Замечание: если случ. Величина X непрерывна то вероятность того что СВХ примет значение х равна 0. ж
8.Числовые хар-ки случайной величины. Математическое ожидание: На практике часто полное описание случайной величины не слишком важно, достаточно знать нек. параметры. Их называют числовыми характеристиками. Наиболее важная – мат. ожидание или её среднее значение (М(Х))
Дисперсия случайной величины: Дисперсия характ. Разброс значений СВ около своего среднего значения (показатель рассеивания) Дисперсия – мат. ожидание от квадрата отклонения СВ от своего мат. ожидания ;где Среднее квадратичное отклонение: Пример: и т.д.
9.Биномиальный закон распределения. Говорят, что СВ распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …,n а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли: 0 - Pn(0), 1 – Pn(1), m – Pn(m), n – Pn(n) ; ; ; ; ; В (1) положим t=1 ; ; ; ; ;
10.Распределение Пуассона. Равномерное распределение. СВ распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, 3,…, m,…,n, а соответсвующие вероятности по формуле Бернулли.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (404)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |