Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в серии испытаний

Элементы комбинаторики

Комбинации, составленные из одной и той же совокупности n различных предметов и отличающиеся лишь порядком этих предметов, называются ПЕРЕСТРОЕНИЯМИ. P_n=n!

Комбинации по m элементов, составленные из n различных элементов и отличающиеся друг от друга либо этими элементами, либо их порядком, называются РАЗМЕЩЕНИЯМИ

A_n^m=n!/(n-m)! без повторений. Ӑ_n^m=n^mс повторениями

Комбинации, содержащие по m элементов из n элементов и отличающиеся хотя бы одним элементом, называются СОЧЕТАНИЯМИ (порядок не важен) C_n^m=n!/m!(n-m)!

Алгебра событий

Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.

Произведением событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.

Определения вероятности события

1)Классическое определение

Совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится одно их них.

События А₁ А₂ А₃, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называются элементарными событиями.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А ведет за собой наступление события В.

Классическое определение вероятности: вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е Р(А)= m/n

Свойства:

-Вероятность достоверного события равна единице (m=n)

-Вероятность невозможного события равна нулю (m=0)

-Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей (0<=P(A)<=1)

2) Статистическое определение

Пусть произведено n испытаний , при этом некоторое событие А наступило m раз. Число m называется абсолютной частотой события А, а отношение w(А)=m/n называется относительной частотой.

Статистическое определение вероятности: вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

3) Геометрическое определение

Пусть исход испытания – это попадание некоторой точки в область D, а случайное событие А – попадание точки в некоторую область D1 принадлежащую D. Вероятность события А :

P(A)=мера области D1 / мера области D . это и есть геометрическое определение вероятности.

Мера – длина, площадь, объем и т.д.

Теоремы о вероятности суммы несовместных и совместных событий

Пусть события А и В несовместны, тогда вероятность того что произойдет хотя бы одно из этих событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Док-во: пусть n – число равновозможных исходов испытания, ma – число исходов, благоприятствующих появлению события А, mb - число исходов, благоприятствующих появлению события В. Р(А)+Р(В)= ma/n + mb/n=(ma+mb)/n

Пусть события А и В совместны, тогда вероятность того что произойдет хотя бы одно из этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–P(AB)

Док-во: пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l – событию В и m – одновременно событиям А и В. Отсюда событию А+В благоприятствуют k+l-m элементарных событий. Тогда Р(А+В)= (k+l–m)/n=k/n +l/n – m/n=Р(А)+Р(В)–P(AB)

Теоремы о вероятности произведения независимых и зависимых событий

Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого их них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае эти события называют зависимыми.

Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью Р_А(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А) Р_А(В)

Док-во: пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, и пусть из этих k событий l благоприятствуют событию В, а значит, и событию АВ. Тогда Р(АВ)=l/n=k/n * l/k=Р(А) Р_А(В)

Если события А и В независимы, тогда Р(АВ)=Р(А) Р(В)

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие А может произойти лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий Н1, Н2…Нn, образующих полную группу событий. События Н1, Н2…Нn называются гипотезами для события А. Тогда Р(А)=Р(Н1) Р_Н1(А) +…+ Р(Нn) Р_Нn(А)

Это формула полной вероятности.

Из формулы полной вероятности следует формула Байеса, позволяющая произвести переоценку вероятностей гипотез после того, когда событие А произошло:

Р_А (Нi)= Р(Нi) *Р_Нi(А) / Р(А)

Док-во: по теореме умножения вероятностей и формуле полной вероятности имеем: Р(АНi)=Р(А) Р_А(Hi)= Р(Hi) Р_Hi(A). Отсюда: Р_А(Hi)= Р(Hi) Р_Hi(A) / Р(А). Используя формулу полной вероятности, находим: Р_А(Hi)= Р(Hi) Р_Hi(A) / ∑Р(Нk) Р_Нk(А)

Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в серии испытаний

Пусть вероятность события А одинакова во всех n независимых испытаниях и равна p(A)=p. Тогда p(Ā)=1-p=q. Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли: p_n(k)=C_n^k * p^k * q^n-k

Число появления события А, вероятность которого наибольшая, называется наивероятнейшим числом. Обозначим наивероятнейшее число наступления некоторого события А в серии из n испытаний через m.

Pn(m)≥ Pn(m-1) (1) Pn(m)≥ Pn(m+1) (2)

Распишем неравенство (1) использую формулу Бернулли.

Pn(m) / Pn(m-1) ≥1

C_n^m * p^m * q^n–m / C_n^m–1 * p^m-1 * q^n–m+1≥1

n!(n-1)!(n-m+1)!p / m!(n-m)!n!q ≥1

(n-m+1) / m * p/q ≥1

(n-m+1)p≥qm

(n+1)p ≥qm+pm (n+1)p ≥(q+p)m m≤np+p

Поступая аналогично с неравенством(2),получим m≥np-q. np-q≤m≤np+p